[论文解读] Homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients

Mark Dorodnyi, T. A. Suslina|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文在 $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ 中建立了自伴、二阶、周期性微分算子的平方根余弦的算子误差估计，聚焦于具有振荡系数的双曲方程。利用谱理论与 Floquet-Bloch 分解，推导出 $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 在 $(H^s \to L_2)$-范数下的近似，误差为 $O(\varepsilon)$，适用于声学与弹性系统。

ABSTRACT

In $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ we consider selfadjoint strongly elliptic second order differential operators ${\mathcal A}_\varepsilon$ with periodic coefficients depending on ${\mathbf x}/ \varepsilon$, $\varepsilon>0$. We study the behavior of the operator cosine $\cos( {\mathcal A}^{1/2}_\varepsilon τ)$, $τ\in \mathbb{R}$, for small $\varepsilon$. Approximations for this operator in the $(H^s o L_2)$-operator norm with a suitable $s$ are obtained. The results are used to study the behavior of the solution ${\mathbf v}_\varepsilon$ of the Cauchy problem for the hyperbolic equation $\partial^2_τ{\mathbf v}_\varepsilon = - \mathcal{A}_\varepsilon {\mathbf v}_\varepsilon +\mathbf{F}$. General results are applied to the acoustics equation and the system of elasticity theory.

研究动机与目标

• 分析当 $\varepsilon \to 0$ 时，具有周期系数的双曲方程的算子余弦 $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 的渐近行为。
• 推导 $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 的同伦逼近在 $(H^s \to L_2)$-拓扑下的算子范数误差估计。
• 将结果应用于双曲方程 $\partial_\tau^2 \mathbf{v}_\varepsilon = -\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{v}_\varepsilon + \mathbf{F}$ 的柯西问题，确保解的收敛性。
• 在物理模型上验证理论，包括声学方程与线性弹性系统。
• 通过关联的 Floquet-Bloch 算子的谱分析，建立误差估计的最优性。

提出的方法

• 基于 Floquet-Bloch 理论的谱方法，将算子 $\mathcal{A}_\varepsilon$ 分解为以准动量 $\boldsymbol{\theta}$ 为参数的纤维算子族。
• 采用分解 $\mathcal{A}_\varepsilon = f^\varepsilon^* b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon b(\mathbf{D}) f^\varepsilon$，将算子表示为适合均值化的形式。
• 应用解析摄动理论研究预解算子与半群的收敛性，并通过函数演算推广至余弦算子。
• 通过分析原算子与有效算子在 $L_2$ 与 Sobolev 范数下的差异，结合一阶校正项，推导误差估计。
• 利用有效算子 $\mathcal{A}^0 = b(\mathbf{D})^* g^0 b(\mathbf{D})$，其中常数有效矩阵 $g^0$ 通过体积平均计算得出。
• 通过分析 Bloch 纤维算子 $\widehat{N}(\boldsymbol{\theta})$ 的谱，并在关键点 $\boldsymbol{\theta}^{(j)}$ 验证非零特征值，建立估计的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\varepsilon \to 0$ 时，$\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 在 $(H^s \to L_2)$-算子范数下的收敛速率如何？
• RQ2 双曲余弦算子的误差估计如何依赖于 Sobolev 空间 $H^s$ 中初始数据的正则性？
• RQ3 能否将适用于椭圆与抛物问题的算子理论均值化框架扩展至具有周期系数的双曲方程？
• RQ4 在 $(H^s \to L_2)$-范数下，双曲余弦算子的 $O(\varepsilon)$ 误差估计的最优性如何？
• RQ5 这些结果如何应用于声学方程与周期介质中线性弹性系统的具体物理系统？

主要发现

• 算子余弦 $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 在 $(H^s \to L_2)$-算子范数下收敛至 $\cos(\mathcal{A}^{0,1/2}\tau)$，误差为 $O(\varepsilon)$，其中 $0 \leq s \leq 3/2$。
• 对于柯西问题 $\partial_\tau^2 \mathbf{v}_\varepsilon = -\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{v}_\varepsilon + \mathbf{F}$，解 $\mathbf{v}_\varepsilon$ 收敛至同伦解 $\mathbf{v}_0$，误差满足 $\|\mathbf{v}_\varepsilon - \mathbf{v}_0\|_{L_2} \leq \varepsilon^{2s/3} \left( \widehat{\mathfrak{C}}_3(s;\tau) \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^s} + \widehat{\mathfrak{C}}_4(s;\tau) \|\boldsymbol{\psi}\|_{H^s} \right)$。
• 误差估计是最优的：Bloch 纤维算子 $\widehat{N}(\boldsymbol{\theta}^{(j)})$ 的非零特征值 $\pm \widehat{\mu} \approx \pm 0.0985$ 确认 $O(\varepsilon)$ 的收敛速率无法进一步提高。
• 对于希尔体（各向同性弹性，剪切模量恒定），有效矩阵 $g^0_{\wedge}$ 与平均值 $\underline{g_{\wedge}}$ 一致，当 $\widehat{N}(\boldsymbol{\theta}) = 0$ 时，$L_2$-范数下的误差估计可提升至 $O(\varepsilon^2)$。
• 近似中的校正项由周期边值问题的解 $\Lambda_{22}$ 导出，其显式表达式包含 $\arctan$ 与复对数项。
• 结果被推广至声学方程与线性弹性系统，其中分解 $\mathcal{A}_\varepsilon = b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon b(\mathbf{D})$ 可直接应用，且同伦算子可显式计算。