[论文解读] Homogenization of immiscible compressible two--phase flow in random porous media

Brahim Amaziane, Leonid Pankratov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 41被引用 8

一句话总结

本论文利用随机双尺度收敛方法，严格建立了随机统计同质多孔介质中不混溶可压缩两相流的均质化。推导了水相与可压缩气体（如氢气）流动的有效宏观方程，证明了在典型天然地质构造中真实随机微观结构下的解收敛性，关键结果包括在核废料处置库建模中考虑毛细管力与重力效应。

ABSTRACT

The paper deals with homogenization of a model problem describing an immiscible compressible two-phase flow in random statistically homogeneous porous media. We derive the effective (macroscopic) problem and prove the convergence of solutions. Our approach relies on stochastic two-scale convergence techniques, the realization-wise notion of stochastic two-scale convergence being used. Also, we exploit various a priori estimates as well as monotonicity and compactness arguments.

研究动机与目标

• 建立并推导具有随机统计同质微观结构的非均质多孔介质中不混溶可压缩两相流的有效宏观方程。
• 通过引入典型天然地质构造中真实的随机微观结构，克服周期性均质化的局限性。
• 利用随机双尺度收敛方法，严格证明微观解向有效宏观问题的收敛性。
• 在核废料处置库中氢气迁移的背景下，考虑气相的毛细管压力、重力及可压缩性。
• 在一般随机遍历微观结构下，建立均质化系统弱解的存在性与正则性。

提出的方法

• 采用逐实现实现的随机双尺度收敛方法，处理多孔介质中随机遍历微观结构。
• 采用两相流模型，其中湿相不可压缩（水相），气相可压缩（氢气），由对流-扩散方程控制。
• 通过先验估计、单调性及紧致性论证控制系统中的非线性项。
• 通过在微观问题弱形式中取双尺度极限，推导有效宏观方程。
• 通过动量方程中的非线性项引入毛细管压力与重力效应。
• 通过速度与压力场的随机双尺度极限，识别校正项，从而确定有效通量的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有随机统计同质微观结构的多孔介质中，严格推导可压缩不混溶两相流的均质化？
• RQ2 此类流动的有效宏观方程具有何种结构？毛细管力与重力效应如何在均质化系统中体现？
• RQ3 与经典周期性均质化相比，随机双尺度收敛方法如何实现非周期性随机微观结构下的收敛性证明？
• RQ4 气相可压缩性与相对渗透率中的非线性项在均质化过程中起何种作用？
• RQ5 在随机微观结构下，边界与初始条件在均质化极限中如何保持？

主要发现

• 在随机多孔介质中，可压缩两相流的有效宏观问题被严格推导，且通过随机双尺度收敛证明了解的收敛性。
• 有效通量包含毛细管压力、重力与可压缩性的贡献，校正项明确表示为 $\theta_g = \boldsymbol{\xi}(\omega)\left[\lambda_g(\widehat{S})\nabla\widehat{\mathsf{P}} + \nabla\beta(\widehat{S}) - \lambda_g(\widehat{S})\varrho_g(\widehat{\mathsf{P}} + \mathsf{G}_g(\widehat{S}))\right]$。
• 速度与压力场的收敛性在随机双尺度收敛意义下得到证明，当气体饱和度 $\widehat{S} = 1$ 时，关键项在 $L^2$ 中具有强收敛性。
• 均质化系统保持了原始问题的物理结构，包括相对渗透率与可压缩性带来的非线性。
• 该方法成功将均质化理论从周期性介质扩展至随机统计同质介质，为核废料处置库建模提供了更真实的框架。
• 边界与初始条件在均质化极限中被证明得以保持，确保宏观模型的物理一致性。