[论文解读] Homogenization of initial boundary value problems for parabolic systems with periodic coefficients

Yu. M. Meshkova, T. A. Suslina|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文建立了有界域中周期系数抛物组同伦化问题的精确算子误差估计。证明了半群 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ 以 $ O(\varepsilon) $ 误差在 $ L^2 $-算子范数下收敛于同伦化半群 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $，并在固定 $ t > 0 $ 时，通过校正项在 $ (L^2 \to H^1) $-范数下实现了 $ O(\varepsilon^{1/2}) $ 的逼近。结果被应用于抛物组的初边值问题。

ABSTRACT

Let $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^d$ be a bounded domain of class $C^{1,1}$. In the Hilbert space $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, we consider matrix elliptic second order differential operators $\mathcal{A}_{D,\varepsilon}$ and $\mathcal{A}_{N,\varepsilon}$ with the Dirichlet or Neumann boundary condition on $\partial \mathcal{O}$, respectively. Here $\varepsilon>0$ is the small parameter. The coefficients of the operators are periodic and depend on $\mathbf{x}/\varepsilon$. The behavior of the operator $e^{-\mathcal{A}_{†,\varepsilon}t}$, $†=D,N$, for small $\varepsilon$ is studied. It is shown that, for fixed $t>0$, the operator $e^{-\mathcal{A}_{†,\varepsilon}t}$ converges in the $L_2$-operator norm to $e^{-\mathcal{A}_†^0 t}$, as $\varepsilon o 0$. Here $\mathcal{A}_†^0$ is the effective operator with constant coefficients. For the norm of the difference of the operators $e^{-\mathcal{A}_{†,\varepsilon}t}$ and $e^{-\mathcal{A}_†^0 t}$ a sharp order estimate (of order $O(\varepsilon)$) is obtained. Also, we find approximation for the exponential $e^{-\mathcal{A}_{†,\varepsilon}t}$ in the $(L_2 ightarrow H^1)$-norm with error estimate of order $O(\varepsilon ^{1/2})$; in this approximation, a corrector is taken into account. The results are applied to homogenization of solutions of initial boundary value problems for parabolic systems.

研究动机与目标

• 研究有界 $ C^{1,1} $ 域中周期系数抛物组的同伦化问题。
• 建立半群 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ 收敛于其同伦极限 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $ 的算子范数误差估计。
• 对固定 $ t > 0 $，在 $ L^2 $-和 $ H^1 $-算子范数下推导出精确的误差界。
• 在逼近中引入校正项，以改进 $ (L^2 \to H^1) $-范数下的误差估计。
• 将结果应用于抛物组初边值问题的同伦化。

提出的方法

• 基于缩放、Floquet-Bloch 理论和解析摄动理论的同伦化算子理论方法。
• 分析依赖于 $ \mathbf{x}/\varepsilon $ 的周期系数的矩阵椭圆型二阶微分算子 $ \mathcal{A}_{D,\varepsilon} $ 和 $ \mathcal{A}_{N,\varepsilon} $。
• 利用预解式估计和谱理论，推导 $ \varepsilon \to 0 $ 时半群 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ 的收敛估计。
• 构造校正项 $ \varepsilon \mathcal{K}(t;\varepsilon) $ 以改进 $ (L^2 \to H^1) $-范数逼近。
• 使用截断函数和单位分解来局部化估计并控制域 $ \mathcal{O} $ 中的边界效应。
• 使用加权 $ L^2 $-范数和插值技术以控制解及其导数的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，半群 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ 在 $ L^2 $-算子范数下如何收敛于其同伦极限 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $？
• RQ2 用 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $ 近似 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ 时，$ L^2 $-算子范数下的误差阶数是多少？
• RQ3 校正项能否改善 $ (L^2 \to H^1) $-范数下的收敛速率？若能，最优误差界是什么？
• RQ4 误差估计如何依赖于时间参数 $ t $？小 $ t $ 时的行为如何？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广至抛物组初边值问题？

主要发现

• 当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，算子 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ 以 $ O(\varepsilon) $ 误差在 $ L^2 $-算子范数下收敛于 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $。
• 建立了差值 $ \|e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} - e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t}\|_{L^2 \to L^2} $ 的精确 $ O(\varepsilon) $ 误差估计，该估计阶数精确且对所有 $ t > 0 $ 一致。
• 包含校正项的逼近在 $ t \geq \varepsilon^2 $ 时于 $ (L^2 \to H^1) $-范数下实现了 $ O(\varepsilon^{1/2}) $ 的误差界。
• 校正项 $ \varepsilon \mathcal{K}(t;\varepsilon) $ 被显式构造，其依赖于 $ \mathbf{x}/\varepsilon $ 的快速振荡函数。
• 误差估计在时间上一致，且显式依赖于区域几何、强椭圆常数以及系数矩阵的 $ L^\infty $-范数。
• 结果被应用于周期系数抛物组初边值问题解的同伦化。