[论文解读] Homogenization of random convolution energies in heterogeneous and perforated domains

Andrea Braides, Andrey Piatnitski|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 37被引用 4

一句话总结

本论文为异质且带穿孔区域中的随机卷积能量建立了同伦化定理，证明其几乎必然地 $Γ$-收敛于一个确定性的二次型Dirichlet型泛函。极限泛函的被积函数通过源自次可加过程的渐近公式表征，将局部同伦化技术扩展至在遍历性和平稳性假设下的非局部、渐近局部设定。

ABSTRACT

We prove a homogenization theorem for a class of quadratic convolution energies with random coefficients. Under suitably stated hypotheses of ergodicity and stationarity we prove that the $Γ$-limit of such energy is almost surely a deterministic quadratic Dirichlet-type integral functional, whose integrand can be characterized through an asymptotic formula. The proof of this characterization relies on results on the asymptotic behaviour of subadditive processes. The proof of the limit theorem uses a blow-up technique common for local energies, that can be extended to this `asymptotically-local' case. As a particular application we derive a homogenization theorem on random perforated domains.

研究动机与目标

• 在异质且带穿孔的区域中，为具有遍历性和平稳系数的随机卷积能量建立 $Γ$-极限。
• 通过源自次可加过程的渐近公式表征同伦化能量密度。
• 将常用于局部能量的爆破技术扩展至非局部、渐近局部的卷积泛函。
• 推导出仅在随机连通分量内发生相互作用的随机穿孔区域上定义的能量的同伦化结果。
• 证明 $Γ$-极限几乎必然地收敛于一个确定性的、二次型的Dirichlet型积分泛函。

提出的方法

• 在 $L^2(D)$ 拓扑中利用 $Γ$-收敛分析缩放卷积能量的极限。
• 通过利用其渐近局部结构，将爆破技术适配于非局部能量。
• 运用次可加过程理论，通过涉及大尺度平均的双尺度极限表征同伦化能量密度。
• 在概率空间上使用随机动力系统 $(\tau_x)$ 来建模环境的平稳性与遍历性。
• 应用一个延拓定理（定理 7.2），通过在全区域上延拓函数并控制能量增长，来控制穿孔区域上的能量。
• 通过在大立方体 $Q_R$ 上的变分公式（边界层大小为 $K$）推导同伦化矩阵 $A_{\text{hom}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在异质区域中，具有遍历性和平稳系数的随机卷积能量的 $Γ$-极限是什么？
• RQ2 当相互作用核为非局部且介质为随机时，如何表征同伦化能量密度？
• RQ3 常用于局部能量的爆破方法能否扩展至具有随机系数的非局部卷积能量？
• RQ4 在仅在连通分量内发生相互作用的随机穿孔区域上定义的能量的同伦化极限是什么？
• RQ5 在何种条件下，此类随机能量的 $Γ$-极限会收敛于一个确定性的、二次型的Dirichlet型泛函？

主要发现

• 能量泛函 $F^{ω}_{\varepsilon}(u)$ 的 $Γ$-极限在 $H^1(D)$ 上几乎必然地为一个确定性的二次型Dirichlet型积分泛函。
• 同伦化能量密度由矩阵 $A_{\text{hom}}$ 表征，其二次型为 $\langle A_{\text{hom}}z,z\rangle = \lim_{K\to\infty}\lim_{R\to\infty}\frac{1}{R^d}\inf\left\{\int_{Q_R\cap E^{\omega}}\int_{E^{\omega}}a(x-y)(v(x)-v(y))^2\,dx\,dy : v(x)=\langle z,x\rangle \text{ near }\partial Q_R \right\}$。
• 由于遍历性和平稳性假设，该极限几乎必然地与随机实现 $\omega$ 无关。
• 随机穿孔区域上的能量满足统一的延拓估计（定理 7.2），确保可通过全区域延拓实现能量的受控增长。
• 同伦化结果在可积性条件 $\int_{\mathbb{R}^d} a(\xi)(1+|\xi|^2)\,d\xi < \infty$ 和下界 $a(\xi) \geq c > 0$ 对于 $|\xi| \leq r_0$ 下成立。
• 收敛性在 $L^2(D)$ 拓扑中建立，且极限泛函在 $H^1(D)$ 上连续且强制。