[论文解读] Homogenization of the Oscillating Dirichlet Boundary Condition in General Domains

William M. Feldman|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 4

一句话总结

本文在一般光滑有界区域上建立了具有周期性振荡的完全非线性椭圆方程在算子和Dirichlet边界条件中的齐次化。通过引入一种新颖的带有部分边界数据的比较原理，即使齐次化后的边界数据可能存在不连续性，也证明了解的局部一致收敛性，将先前在半空间中的结果推广到一般区域，且对算子的假设最小化。

ABSTRACT

We prove the homogenization of the Dirichlet problem for fully nonlinear elliptic operators with periodic oscillation in the operator and of the boundary condition for a general class of smooth bounded domains. This extends the previous results of Barles and Mironescu in half spaces. We show that homogenization holds despite a possible lack of continuity in the homogenized boundary data. The proof is based on a comparison principle with partial Dirichlet boundary data which is of independent interest.

研究动机与目标

• 将振荡Dirichlet边界条件的齐次化结果从半空间推广到一般光滑有界区域。
• 即使齐次化后的边界数据不连续，也建立解收敛到齐次化极限问题的结果。
• 通过带有部分边界数据的比较原理，证明齐次化解的存在性与唯一性。
• 识别齐次化边界数据在大多数边界点上连续的条件，特别是排除具有小Hausdorff维数的集合。

提出的方法

• 在边界点附近进行爆破分析，推导出半空间中的单元问题，以刻画解在边界附近的局部行为。
• 将齐次化边界数据定义为单元问题解的渐近极限，其依赖于法向方向和算子的周期性结构。
• 使用带有部分边界数据的比较原理，控制逼近解的上下文松弛极限。
• 通过利用区域的正则性以及算子和法向量的收敛性，建立齐次化边界数据在余集上几乎处处连续。
• 应用屏障论证和松弛极限，证明解的上下极限在内部区域重合，从而推出局部一致收敛性。
• 借助完全非线性算子的内部齐次化结果，将远离边界区域的行为与齐次化方程联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有振荡算子和边界条件的完全非线性椭圆方程，在一般区域中，即使齐次化后的边界数据不连续，Dirichlet问题的齐次化是否仍然成立？
• RQ2 当边界数据在小尺度上振荡时，能否使用带有部分边界数据的比较原理来建立收敛性？
• RQ3 对区域和算子施加何种条件，可确保齐次化边界数据在大多数边界点上连续？
• RQ4 区域的几何结构，特别是法向量和切向导数，如何影响齐次化边界条件的连续性？
• RQ5 类似技术在何种程度上可推广至具有振荡Neumann边界条件的情形？

主要发现

• 即使齐次化后的边界数据 $ \overline{g} $ 不连续，解 $ u^\varepsilon $ 也在 $ \Omega $ 中局部一致收敛于极限 $ \overline{u} $。
• 齐次化边界数据 $ \overline{g}(x) = \overline{\mu}(g(x,\cdot), F^x, \nu_x) $ 在所有满足 $ x \in \partial\Omega \setminus \Gamma $ 的点上连续，其中 $ \Gamma $ 是Hausdorff维数小于 $ \beta_0 $ 的集合。
• 收敛性通过带有部分边界数据的比较原理建立，这是独立于主结果的关键技术贡献。
• 由于通过选择 $ R $ 和 $ \eta $ 控制了边界层效应，解 $ u^\varepsilon $ 的上下文松弛极限在 $ \Omega $ 中重合，从而推出局部一致收敛性。
• 证明依赖于屏障构造以及算子和边界数据收敛下粘性解的稳定性，即使在缺乏等度连续性的情况下也成立。
• 该结果推广了Barles和Mironescu在半空间中的先前工作，消除了对旋转对称性或齐次化边界数据连续性的假设。