[论文解读] Homogenization of the Schroedinger equation with large, random potential

Ningyao Zhang, Guillaume Bal|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用 4

一句话总结

本论文在高维空间（$d > \mathfrak{m}$）中建立了具有大尺度、快速振荡、均值为零的随机势的薛定谔方程的均匀化，表明当相关长度 $\varepsilon \to 0$ 时，解在时间上一致地以 $L^2$ 范数收敛于一个确定性极限。该结果通过改进的杜哈梅展开和基于图的散射分析，将先前针对短时间的均匀化结果推广至长时间情形，将之前针对热方程的结果推广至酉薛定谔框架。

ABSTRACT

We study the behavior of solutions to a Schr{ö}dinger equation with large, rapidly oscillating, mean zero, random potential with Gaussian distribution. We show that in high dimension $d>\mathfrak{m}$, where $\mathfrak{m}$ is the order of the spatial pseudo-differential operator in the Schr{ö}dinger equation (with $\mathfrak{m}=2$ for the standard Laplace operator), the solution converges in the $L^2$ sense uniformly in time over finite intervals to the solution of a deterministic Schr{ö}dinger equation as the correlation length $\varepsilon$ tends to 0. This generalizes to long times the convergence results obtained for short times and for the heat equation. The result is based on a careful decomposition of multiple scattering contributions. In dimension $d

研究动机与目标

• 将随机势的均匀化结果从短时间推广至长时间的薛定谔方程框架中。
• 在高维空间（$d > \mathfrak{m}$）中，建立具有大尺度、快速振荡、均值为零的高斯随机势的解收敛于确定性有效方程的结论。
• 通过借鉴辐射转移理论中的散射图求和技术，克服先前基于杜哈梅方法的时间尺度限制。
• 基于空间维数相对于算子阶数 $\mathfrak{m}$ 的关系，表征从随机行为到确定性行为的均匀化极限过渡。

提出的方法

• 在频率域中使用杜哈梅级数展开，将解表示为多次散射事件的和。
• 采用基于图的散射贡献分解，分为三类，与文献[2]中的分类相似，用于估计前 $n_0$ 项的 $L^2$ 范数。
• 采用受[6]启发的时间区间划分技术，以在长时间范围内控制误差项，替代直接的无限级数估计。
• 利用谱分析与傅里叶分析，控制涉及功率谱 $\hat{R}$ 和符号 $|\xi|^\mathfrak{m}$ 的类型为预解算子的积分。
• 应用复分析技术，包括对依赖于 $z$ 的预解算子 $Y_z\hat{R}$ 的有界性估计，以控制频率域中的奇点。
• 对 $\hat{R}$（例如 $\hat{R} \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$）和初始数据（$\hat{u}_0(\xi)\langle\xi\rangle^{6d} \in L^2$）施加正则性与衰减条件，以确保收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在长时间范围内，具有大尺度、随机、均值为零势的薛定谔方程的解是否收敛于确定性极限？
• RQ2 杜哈梅展开方法能否被推广至超越短时间区域，以实现在薛定谔框架下的长时间均匀化？
• RQ3 相对于 $\mathfrak{m}$，临界维数 $d$ 的阈值是多少，使得随机解收敛于确定性有效方程？
• RQ4 随机势的相关函数 $R(x)$ 的结构如何影响均匀化极限？

主要发现

• 当维数 $d > \mathfrak{m}$ 时，解 $u_\varepsilon(t)$ 在时间 $t \in (0,T)$ 上一致地以 $L^2(\Omega \times \mathbb{R}^d)$ 范数收敛于 $\varepsilon \to 0$ 时的确定性薛定谔方程的解。
• 均匀化方程中的有效势由 $\rho = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{\hat{R}(\xi)}{|\xi|^\mathfrak{m}} d\xi$ 给出，在 $\hat{R}$ 的衰减与光滑性假设下该积分有限。
• 收敛性在任意有限区间 $(0,T)$ 上时间一致，克服了如[2]等先前工作的时间限制。
• 该方法依赖于对散射图的精细化求和与时间区间分解，从而控制散射项数量的指数增长。
• 当 $d < \mathfrak{m}$ 时，极限为随机PDE，表明在临界维数 $\mathfrak{m} = d$ 处行为发生相变。
• 当 $\mathfrak{m} = d$ 时，根据与抛物情形的比较，极限预计为确定性，仅含对数修正项。