[论文解读] Homographic scheme for Riccati equation

François Dubois, Abdelkader Saïdi|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2011

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于求解最优控制问题中出现的矩阵Riccati方程的同调数值格式。该方法无条件稳定，每一步时间均保持解的正定性，并在标量情况下证明了收敛性；数值实验表明，当显式格式失效时，该方法仍表现出鲁棒性和稳定性。

ABSTRACT

In this paper we present a numerical scheme for the resolution of matrix Riccati equation, usualy used in control problems. The scheme is unconditionnaly stable and the solution is definite positive at each time step of the resolution. We prove the convergence in the scalar case and present several numerical experiments for classical test cases.

研究动机与目标

• 解决经典格式在最优控制问题中求解矩阵Riccati方程时出现的数值不稳定性和正定性丧失问题。
• 开发一种稳定的隐式数值方法，确保每一步时间均保持解的正定性。
• 确保在标量情况下具有无条件稳定性和收敛性，并将结果推广至矩阵情况，显示其单调性以及随时间趋于无穷时收敛至代数Riccati方程解的性质。
• 在波方程和振子系统等具有挑战性的测试用例中展示其鲁棒性，这些情况下显式格式会失效。
• 为未来工作奠定基础，包括证明矩阵情况下收敛性以及构造高阶多步变体。

提出的方法

• 提出一种同调变换，将矩阵Riccati方程重写为适合稳定时间积分的形式。
• 采用隐式时间离散化，每一步时间需求解一个线性系统，从而保证无条件稳定性。
• 引入标量参数μ以控制同调变换，确保解矩阵的正定性。
• 将该格式应用于标量和矩阵Riccati方程，通过能量估计在标量情况下证明收敛性。
• 通过L2正交基函数将无限维控制问题（如波方程）投影到有限维谱模态上。
• 通过将状态维度加倍，将二阶常微分方程转化为一阶系统，从而适用于Riccati求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为矩阵Riccati方程构造一种数值格式，以保证无条件稳定并保持解的正定性？
• RQ2 所提出的同调格式在标量情况下是否收敛，其收敛行为的性质如何？
• RQ3 在刚性或病态的控制问题（如波方程或车辆队列系统）中，该格式表现如何，这些情况下显式格式会失效？
• RQ4 离散解的长期性质是什么，特别是其随时间增加而趋于代数Riccati方程解的趋势如何？
• RQ5 该格式能否通过多步格式实现二阶精度？

主要发现

• 同调格式无条件稳定，并在每一步时间均保持解矩阵的正定性。
• 在标量情况下，该格式已被证明具有收敛性，收敛性通过基于能量的分析建立。
• 在矩阵情况下，离散解表现出单调性，并且当时间趋于无穷时收敛至代数Riccati方程的解。
• 在N=10模态（2N=20）和Δt=0.01的波方程数值实验中，该格式保持稳定，而显式两阶段Runge-Kutta格式则变得不稳定。
• 在参数大幅变化的情况下，该格式仍保持鲁棒性，如在谐振子和车辆队列控制等测试用例中所展示。
• 该方法在经典显式格式失效的情况下仍能成功计算出正定解，证实了其在控制应用中的实际有效性。