[论文解读] Homological Algebra for Diffeological Vector Spaces

Enxin Wu|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文通过引入关于线性子余射的投射对象，为一般微分同胚向量空间建立了同调代数的完整框架，涵盖正合序列、Ext群与分解。关键成果是短正合序列等价类与Ext¹(W,V)之间的双射，表明Ext¹(W,V) = 0当且仅当每个此类序列均可光滑分裂。

ABSTRACT

Diffeological spaces are natural generalizations of smooth manifolds, introduced by J.M.~Souriau and his mathematical group in the 1980's. Diffeological vector spaces (especially fine diffeological vector spaces) were first used by P. Iglesias-Zemmour to model some infinite dimensional spaces in~\cite{I1,I2}. K.~Costello and O.~Gwilliam developed homological algebra for differentiable diffeological vector spaces in Appendix A of their book~\cite{CG}. In this paper, we present homological algebra of general diffeological vector spaces via the projective objects with respect to all linear subductions, together with some applications in analysis.

研究动机与目标

• 将同调代数扩展至微分同胚向量空间范畴，该范畴推广了光滑流形与无穷维空间。
• 定义并表征微分同胚向量空间为关于线性子余射的投射对象。
• 建立包含短正合序列、张量积、对偶与分解的同调框架。
• 研究微分同胚向量空间的短正合序列在何种条件下分裂，与经典向量空间理论形成对比。
• 证明Ext¹(W,V)在且仅在所有涉及W与V的短正合序列均可光滑分裂时为零。

提出的方法

• 将微分同胚向量空间定义为配备有微分几何结构的向量空间，使得加法与数乘映射为光滑映射。
• 引入线性子余射与子嵌入，作为微分同胚范畴中满射与单射的范畴类比。
• 通过普遍性质在微分同胚空间上构造自由微分同胚向量空间，证明每个微分同胚向量空间均为此类自由对象的商。
• 将微分同胚向量空间定义为：其上每个线性子余射均存在光滑提升，同时提供多种等价刻画。
• 通过微分同胚投射分解构建类似导出范畴的框架，利用上积与上同调提升定义Ext¹(W,V)。
• 证明Ext¹(W,V)与微分同胚向量空间范畴中短正合序列等价类之间存在双射，且分裂对应于零类。

实验结果

研究问题

• RQ1 微分同胚向量空间的短正合序列在何时可光滑分裂？
• RQ2 微分同胚向量空间为投射的充要条件是什么？
• RQ3 Ext¹群如何在微分同胚向量空间范畴中分类扩张？
• RQ4 每个微分同胚向量空间是否均可实现为自由微分同胚向量空间的商？
• RQ5 精细微分同胚向量空间、自由微分同胚向量空间与投射空间之间存在何种关系？

主要发现

• 微分同胚向量空间范畴是完备且上完备的，且在集合范畴中存在所有极限与余极限。
• 每个微分同胚向量空间均为由微分同胚空间生成的自由微分同胚向量空间的商，但并非所有此类空间本身均为自由空间。
• 微分同胚向量空间的短正合序列可光滑分裂，当且仅当其在Ext¹(W,V)中的类为零。
• 微分同胚向量空间范畴中存在足够多的投射对象，从而保证投射分解的存在性。
• 精细微分同胚向量空间为投射且弗罗利彻（Frölicher）空间，且当且仅当生成空间为离散空间时，自由微分同胚向量空间为精细空间。
• Ext¹群分类光滑扩张：Ext¹(W,V) = 0当且仅当每个短正合序列0 → V → A → W → 0均可光滑分裂。