[论文解读] Homological algebra in characteristic one

Alain Connes, Caterina Consani|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 12

一句话总结

本论文为特征一的拓扑空间上层范畴构建了同调代数框架，以布尔半域 𝔹 = {0,1} 上的模范畴作为原型。研究证明，该范畴上余单子的 Eilenberg-Moore 范畴构成一个半精确、同调范畴，并通过余核计算出非平凡的 Ext 范畴，表明即使对有限对象，其上同调群也非零。

ABSTRACT

This article develops several main results for a general theory of homological algebra in categories such as the category of sheaves of idempotent modules over a topos. In the analogy with the development of homological algebra for abelian categories the present paper should be viewed as the analogue of the development of homological algebra for abelian groups. Our selected prototype, the category Bmod of modules over the Boolean semifield B is the replacement for the category of abelian groups. We show that the semi-additive category Bmod fulfills analogues of the axioms AB1 and AB2 for abelian categories. By introducing a precise comonad on Bmod we obtain the conceptually related Kleisli and Eilenberg-Moore categories. The latter category Bmod^s is simply Bmod in the topos of sets endowed with an involution and as such it shares with Bmod most of its abstract categorical properties. The three main results of the paper are the following. First, when endowed with the natural ideal of null morphisms, the category Bmod^s is a semi-exact, homological category in the sense of M. Grandis. Second, there is a far reaching analogy between Bmod^s and the category of operators in Hilbert space, and in particular results relating null kernel and injectivity for morphisms. The third fundamental result is that, even for finite objects of Bmod^s the resulting homological algebra is non-trivial and gives rise to a computable Ext functor. We determine explicitly this functor in the case provided by the diagonal morphism of the Boolean semiring into its square.

研究动机与目标

• 为诸如拓扑空间上 ℝ_max-模层等非阿贝尔范畴发展同调代数框架，这些范畴虽非阿贝尔范畴，但需要同调工具。
• 以 𝔹-模范畴（其中 𝔹 = {0,1}）作为原型，建立阿贝尔范畴同调代数的范畴概念类比。
• 证明 𝔹-mod 上余单子的 Eilenberg-Moore 范畴构成一个半精确、同调范畴，从而支持同调构造。
• 在有限情形下显式计算 Ext 范畴，展示特征一中非平凡的同调代数。

提出的方法

• 在 𝔹-模范畴上引入一个余单子，进而构造 Kleisli 范畴与 Eilenberg-Moore 范畴。
• 利用 Eilenberg-Moore 范畴 𝔹-mod^𝔰（在具有对合的集合范畴中与 𝔹-mod 等价）定义同调结构。
• 为范畴 𝔹-mod^𝔰 自然赋予一个零态射理想，从而定义核、余核与严格正合序列。
• 应用卫星函子理论，通过余对角态射 Δ: 𝔹 → 𝔹 × 𝔹 的余核计算 Ext 范畴。
• 运用对偶性与伽罗瓦连接分析对象与态射的结构，尤其关注自同态及其扩张。
• 利用表示性与逗号范畴分析余对角态射的余核及其诱导的自同态。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在诸如拓扑空间上 ℝ_max-模层等非阿贝尔范畴中发展出有意义的同调代数理论？
• RQ2 在 𝔹 = {0,1} 的情形下，𝔹-模范畴是否支持类似于阿贝尔范畴的同调结构？
• RQ3 在 𝔹-模范畴中，即使对有限对象，Ext 范畴是否非平凡？
• RQ4 对偶性与对合在 𝔹-mod 上余单子的 Eilenberg-Moore 范畴结构中起什么作用？
• RQ5 在此同调框架中，零态射与核-余核序列的行为如何？

主要发现

• 当赋予零态射理想时，Eilenberg-Moore 范畴 𝔹-mod^𝔰 是一个半精确、同调范畴。
• 范畴 𝔹-mod^𝔰 与希尔伯特空间上有界算子范畴之间存在深刻类比，尤其体现在零核行为与单射性方面。
• Ext 范畴非平凡且可显式计算：对于余对角态射 Δ: 𝔹 → 𝔹 × 𝔹，Ext 群同构于特定函子 F(α′′) 的余核。
• 函子 F = Hom_{𝔹-mod^𝔰}(Q, −) 的卫星函子 SF 非零，且 SF(K) 恰好等于余核 Coker(F(α′′))。
• 余核 Coker(F(α′′)) 包含 16 个零元素与 12 个非零元素，且自同态在 F(α′′) 的像上限制时，其在该余核上的作用为零。
• 共有 28 种由短双重正合序列 α 的自同态诱导的余核变换，其中 16 种为零变换，映射至零元素。