[论文解读] Homological Description of the Quantum Adiabatic Evolution With a View Toward Quantum Computations

Raouf Dridi, Hedayat Alghassi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于莫尔斯理论与微分几何的新型拓扑框架，用于描述量子绝热演化，表明由哈密顿量导出的cobordism的奇异上同调决定了绝热演化过程。关键贡献在于将p自旋模型中的量子相变与临界点的同伦形变及通过高斯-博内定理实现的曲率再分配相联系，解释了非稳态耦合如何通过增加临界点对并分散曲率来抑制一阶相变。

ABSTRACT

We import the tools of Morse theory to study quantum adiabatic evolution, the core mechanism in adiabatic quantum computations (AQC). AQC is computationally equivalent to the (pre-eminent paradigm) of the Gate model but less error-prone, so it is ideally suitable to practically tackle a large number of important applications. AQC remains, however, poorly understood theoretically and its mathematical underpinnings are yet to be satisfactorily identified. Through Morse theory, we bring a novel perspective that we expect will open the door for using such mathematics in the realm of quantum computations, providing a secure foundation for AQC. Here we show that the singular homology of a certain cobordism, which we construct from the given Hamiltonian, defines the adiabatic evolution. Our result is based on E. Witten's construction for Morse homology that was derived in the very different context of supersymmetric quantum mechanics. We investigate how such topological description, in conjunction with Gauß-Bonnet theorem and curvature based reformulation of Morse lemma, can be an obstruction to any computational advantage in AQC. We also explore Conley theory, for the sake of completeness, in advance of any known practical Hamiltonian of interest. We conclude with the instructive case of the ferromagnetic $p-$spin where we show that changing its first order quantum transition (QPT) into a second order QPT, by adding non-stoquastic couplings, amounts to homotopically deform the initial surface accompanied with birth of pairs of critical points. Their number reaches its maximum when the system is fully non-stoquastic. In parallel, the total Gaussian curvature gets redistributed (by the Gauß--Bonnet theorem) around the new neighbouring critical points, which weakens the severity of the QPT.

研究动机与目标

• 为绝热量子计算（AQC）建立严格的数学基础，尽管其具有实际优势，但目前缺乏深层的理论支撑。
• 研究拓扑与几何结构——特别是莫尔斯理论与微分几何——如何描述并量化有限维量子系统中的绝热演化。
• 分析临界点、梯度流与曲率在决定AQC哈密顿量的计算效率与相变行为中的作用。
• 探讨非稳态微扰如何通过改变能量景观的拓扑与曲率来改变量子相变的本质。
• 证明从一阶到二阶量子相变的转变对应于临界点对的同伦诱导产生与曲率再分配。

提出的方法

• 从时变哈密顿量构造一个cobordism，其奇异上同调通过莫尔斯理论捕捉绝热演化。
• 应用E. Witten的莫尔斯上同调构造（源自超对称量子力学），将演化建模为莫尔斯函数临界点之间的流。
• 利用高斯-博内定理将总高斯曲率与欧拉示性数关联，并分析临界点附近的曲率再分配。
• 采用杜潘指标曲线与形状算子量化鞍点附近绝热演化中的局部几何延迟。
• 在p自旋哈密顿量中引入非稳态参数$ b $以控制稳态性，并研究其对临界点结构与相变阶数的影响。
• 使用Conley理论分析退化情形，确保该框架的拓扑鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何应用莫尔斯理论来描述有限维系统中量子绝热演化的全局拓扑结构？
• RQ2 绝热演化中延迟因子的几何起源是什么？如何利用微分几何对其进行量化？
• RQ3 在p自旋模型中，添加非稳态耦合如何改变临界点结构与相变阶数？
• RQ4 在高斯-博内定理约束下，曲率再分配在多大程度上解释了一阶量子相变的抑制？
• RQ5 从一阶到二阶量子相变的转变是否可被理解为能量景观的同伦变换，伴随临界点对的生成？

主要发现

• 由哈密顿量构造的cobordism的奇异上同调完全描述了量子绝热演化，为该过程提供了拓扑不变量。
• 根据高斯-博内定理，总高斯曲率保持不变，但其分布随同伦过程中临界点的产生或湮灭而改变。
• 对于铁磁性p自旋模型（$ p \neq 2 $），在$ b = 1 $（稳态）时发生的一阶量子相变，随着$ b \to 0 $变为二阶相变，原因是临界点对的产生。
• 临界点数量在$ b = 0 $时达到最大值，此时系统完全为非稳态，该增加与曲率再分配相关，从而削弱了相变的剧烈程度。
• 欧拉示性数$ \chi = -7 $在所有$ b \in \mathbb{R} $下保持不变，证实了尽管能量景观发生剧烈变化，系统仍具有拓扑稳定性。
• 绝热演化中的延迟因子与鞍点附近的形状算子及杜潘指标曲线定量相关，提供了演化变慢的几何度量。