[论文解读] Homological Lagrangian monodromy for some monotone tori

Marcin Augustynowicz, Jack Smith+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2022

Geometric and Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文对辛流形中单调拉格朗日子流形的同调拉格朗日单值群（HL）进行了系统研究，利用弗洛尔上同调环的算术性质来约束HL的结构。该文完全分类了单调 торic纤维的HL，对n=2,3的情形证明了有限性与结构约束，并提出了高维单调tori的一般分类猜想。

ABSTRACT

Given a Lagrangian submanifold $L$ in a symplectic manifold $X$, the homological Lagrangian monodromy group $\mathcal{H}_L$ describes how Hamiltonian diffeomorphisms of $X$ preserving $L$ setwise act on $H_*(L)$. We begin a systematic study of this group when $L$ is a monotone Lagrangian $n$-torus. Among other things, we describe $\mathcal{H}_L$ completely when $L$ is a monotone toric fibre, make significant progress towards classifying the groups than can occur for $n=2$, and make a conjecture for general $n$. Our classification results rely crucially on arithmetic properties of Floer cohomology rings.

研究动机与目标

• 启动对单调拉格朗日tori的同调拉格朗日单值群（HL）的系统研究。
• 利用弗洛尔上同调的算术不变量，对辛流形中单调toric纤维的HL进行分类。
• 在n=2和n=3维情形下，建立对单调tori的HL的结构约束，特别是当HL有限时的情形。
• 基于GL(n,Z)的有限子群，提出对任意单调tori的HL的一般分类猜想。

提出的方法

• 将同调拉格朗日单值群HL定义为哈密顿流作用在H∗(L)上在GL(H∗(L))中的像，即Ham(X,L)在GL(H∗(L))中的作用。
• 通过β ∈ H2(X,L)满足µ(β)=2时，全纯圆盘计数nβ ∈ Z，定义H1(L)中非零圆盘边界集合B1 ⊂ H1(L)。
• 分析SYL（保持L并满足紧致性条件的辛同胚）对B1的作用，证明其置换B1中的元素。
• 证明若B1的有理张成空间的维数为r = n，则SYL → Sym(B1)是单射，从而推出SYL的有限性。
• 在GL(n,Z)中应用表示论与群论技术，包括有限子群与晶体点群的分类。
• 利用超势能及其在群作用下的不变性，通过弗洛尔理论障碍排除某些单值结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于单调拉格朗日toric纤维，同调拉格朗日单值群HL的结构是什么？
• RQ2 在n=2和n=3维情形下，哪些GL(n,Z)的有限子群可作为单调拉格朗日tori的HL出现？
• RQ3 能否利用弗洛尔上同调环的算术不变量来约束HL的结构？
• RQ4 在高维情形下，是否存在对单调拉格朗日tori的HL的一般分类？
• RQ5 在何种条件下HL作用非平凡，何时为平凡或有限？

主要发现

• 对于单调toric纤维，同调拉格朗日单值群HL被完全分类，其在H1(L)上的作用实现为GL(n,Z)的有限子群。
• 当B1的有理张成空间的维数r = n时，SYL在B1上忠实作用，因此SYL有限且单射地映入Sym(B1)。
• 若B1的有理张成空间的维数r = 0，则HL平凡，因为全纯圆盘计数无法产生非平凡单值。
• 当n=3且HL有限时，该群同构于S4、S3×S2或S2×S2×S2的子群，且当−I ∈ HL时，其同构于S3₂的子群。
• 提出一个猜想：对任意单调torus，HL同构于GL(n−1,Z)的子群，或同构于对称群积Sn₁×⋯×Snₖ的子群，其中∑(nj−1)=n。
• 该方法无法排除HL的所有元素固定某一公共向量的情形，表明猜想中的情形(a)对完整分类而言是必要的。