[论文解读] Homological perturbations, equivariant cohomology, and Koszul duality

Johannes Huebschmann|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 10

一句话总结

本文展示了同调微扰理论（HPT）如何为等变上同调中的Koszul对偶性提供一个概念性与构造性的框架，特别是针对奇数度数生成元的有限型外代数。通过使用sh-结构与扭曲上链，作者利用扭曲张量积与Hom-对象构建了等变（上）同调的小模型，建立了sh-Λ-模与sh-ℬ̄Λ-余模之间的对偶性，并通过导出函子的扩展函子性统一解释了Koszul对偶性。

ABSTRACT

Our main objective is to demonstrate how homological perturbation theory (HPT) results over the last 40 years immediately or with little extra work give some of the Koszul duality results that have appeared in the last decade. Higher homotopies typically arise when a huge object, e. g. a chain complex defining various invariants of a certain geometric situation, is cut to a small model, and the higher homotopies can then be dealt with concisely in the language of sh-structures (strong homotopy structures). This amounts to precise ways of handling the requisite additional structure encapsulating the various coherence conditions. Given e. g. two augmented differential graded algebras A and B, an sh-map from A to B is a twisting cochain from the reduced bar construction of A to B and, in this manner, the class of morphisms of augmented differential graded algebras is extended to that of sh-morphisms. In the present paper, we explore small models for equivariant (co)homology via differential homological algebra techniques including homological perturbation theory which, in turn, is a standard tool to handle sh-structures. Koszul duality, for a finite type exterior algebra on odd positive degree generators, then comes down to a duality between the category of sh-modules over that algebra and that of sh-comodules over its reduced bar construction. This kind of duality relies on the extended functoriality of the differential graded Tor-, Ext-, Cotor-, and Coext functors, extended to the appropriate sh-categories. We construct the small models as certain twisted tensor products and twisted Hom-objects. These are chain and cochain models for the chains and cochains on geometric bundles and are compatible with suitable additional structure.

研究动机与目标

• 展示过去40年来的同调微扰理论（HPT）可立即应用于近期在等变上同调中取得的Koszul对偶性结果。
• 利用HPT为G-空间的等变（上）同调构造小模型，特别是在G的同调代数在奇数度数上为严格外代数时。
• 为有限型外代数Λ（在奇数度数生成元上）建立sh-Λ-模与sh-ℬ̄Λ-余模之间的概念性对偶性。
• 将Koszul对偶性推广至无限维群及标准导出范畴不充分的设定中。
• 证明HPT技术，特别是扭曲Eilenberg-Zilber定理与分裂同伦，可统一处理等变上同调与类似动量映射的结构。

提出的方法

• 利用同调微扰理论（HPT）从大链复形构造小模型，通过sh-结构保持更高阶同伦一致性。
• 利用从约化bar构造B̄A₁到A₂的扭曲上链，定义增强微分分次代数之间的sh-同态。
• 将小模型构造为扭曲张量积与扭曲Hom-对象，用于建模具有相容结构的几何丛上的链与上链。
• 应用Eilenberg-Moore型结果，将G-等变同调与上同调表示为以C_*G为系数的微分Tor与Ext函子。
• 利用扭曲Eilenberg-Zilber定理，基于HPT给出Eilenberg-Moore同构在等变上同调中的证明。
• 引入通用扭曲上链的分裂同伦，通过从g到C^0(X)或A^0(X)的伴随映射，将动量映射推广至任意度数的上循环。

实验结果

研究问题

• RQ1 同调微扰理论如何用于推导等变上同调中的Koszul对偶性结果？
• RQ2 sh-结构与扭曲上链在构造等变（上）同调的小模型中起什么作用？
• RQ3 sh-Λ-模与sh-ℬ̄Λ-余模之间的对偶性如何由导出函子的扩展函子性产生？
• RQ4 分裂同伦在何种意义上将动量映射推广至高阶上循环？
• RQ5 HPT技术能否应用于无限维李群，以将Koszul对偶性推广至有限型设定之外？

主要发现

• 对于奇数正度数生成元的有限型外代数Λ，其Koszul对偶性体现为sh-Λ-模范畴与sh-ℬ̄Λ-余模范畴之间的对偶性。
• 等变上同调的小模型被构造为扭曲张量积与扭曲Hom-对象，这些是具有相容结构的几何丛上链与上链的模型。
• 通过HPT，利用扭曲Eilenberg-Zilber定理，重新推导了等变上同调的Eilenberg-Moore型同构。
• 将2-上循环ζ上提升为H_G^2(X)中的等变闭类的障碍被识别为d₂[ζ] ∈ E₂^{2,1}，其来源于满足d∘φ = ζ∪τ的上链φ。
• 在S′[s²g]上对通用扭曲上链τ^S′的分裂同伦h，产生一个余动量映射h^♭: g⊗A²(X) → A⁰(X)，其伴随映射为任意闭2-形式σ的动量映射。
• 形式系统将动量映射推广至任意度数的上循环，其中分裂同伦作为等变扩张的通用替代。