[论文解读] Homological properties of representations of p-adic groups related to geometry of the group at infinity

Roman Bezrukavnikov|ArXiv.org|Jun 10, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 16

一句话总结

本文通过一种新颖的函子，将p进李群的光滑表示的导出范畴上的同调对偶性与Deligne-Lusztig函子和Grothendieck-Serre对偶性的复合建立起一个典范同构，该函子通过Borel-Serre紧化将Bruhat-Tits复形上的等变层与Jacquet函子联系起来。此外，本文证明了Kazhdan关于Yoneda Ext群欧拉示性数的猜想，即其为在椭圆共轭类上对特征标乘积的积分。

ABSTRACT

Geometry of buildings is used to prove some homological properties of the category of smooth representations of a reductive p-adic group (Kazhdan's "pairing conjecture", Bernstein's description of homological duality in terms of Deligne-Lusztig duality). A different proof had been obtained a little earlier by Schneider and Stuhler.

研究动机与目标

• 在光滑G-模的导出范畴上，建立同调对偶性与Deligne-Lusztig函子和Grothendieck-Serre对偶性复合之间的典范同构。
• 证明Kazhdan的猜想，即两个可约表示之间Yoneda Ext群的欧拉示性数可表示为在椭圆共轭类上对特征标乘积的积分。
• 在光滑表示的对偶范畴上构造一个函子L，使其实现Borel-Serre紧化下等变层的直接像在边界上的限制。
• 通过层论局部化和复形上的Verdier对偶，阐明表示的几何与同调结构。

提出的方法

• 构造一个正合函子 L: M^opp → Sh_G(∂X)，使得 i*∘j_*^G ≅ L∘Γ，其中 j: X → X̄ 是Borel-Serre紧化，i: ∂X → X̄ 是边界包含。
• 利用紧支截面的导出函子 RΓ_c 和Verdier对偶 RΓ，将复形 X 上的层上同调与光滑G-模的导出范畴联系起来。
• 证明 L(M) 在边界点 y ∈ ∂X 处的截面同构于Jacquet函子 r_{P_y}(M)，其中 P_y 是 y 的稳定化子。
• 应用一种“一般性论述”的局部化论证，表明对任意 B ∈ D^b(M) 和 i ∈ ℤ，存在 A ∈ D^b(S𝔥) 及一个态射 RΓ_c(A) → B，使得在上同调 H^j（j > i）上诱导出同构。
• 使用Bernstein-Bezrukavnikov对偶同构 D_h ≅ DL∘D_Gr，其中 D_h 是同调对偶，D_Gr 是Grothendieck-Serre对偶。
• 利用Harish-Chandra的特征标可积性及不变广义函数，将欧拉示性数约化为在正则椭圆与非椭圆集上的积分，并通过涉及非紧中心的同调论证，证明非椭圆部分的贡献为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光滑G-模上，是否存在同调对偶性与Deligne-Lusztig函子和Grothendieck-Serre对偶性复合之间的典范同构？
• RQ2 两个可约表示之间Yoneda Ext群的欧拉示性数是否可表示为在椭圆共轭类上对特征标乘积的积分？
• RQ3 Borel-Serre紧化下Bruhat-Tits复形的边界如何与表示上的Jacquet函子相关联？
• RQ4 等变层在复形上的函子与光滑表示的导出范畴之间的确切函子关系为何？
• RQ5 在非紧中心情形下，非椭圆集上特征标积分的消失是否意味着Ext群的消失？

主要发现

• 本文建立了光滑G-模导出范畴上同调对偶性与Deligne-Lusztig及Grothendieck-Serre对偶性复合函子之间的典范同构 D_h ≅ DL∘D_Gr。
• 证明了G-等变单纯层在Bruhat-Tits复形上的直接像在Borel-Serre边界上的限制，同构于该层全局截面经函子L作用的结果。
• 证明函子L是正合的，且在每个边界点上作用于可约表示时，等价于Jacquet函子，其中稳定化子抛物子群 P_y 决定Jacquet模 r_{P_y}(M)。
• 两个可约表示之间Ext群的欧拉示性数由 ∫_Ell χ_ρ₁(g⁻¹)χ_ρ₂(g) dμ(g) 给出，从而证明了Kazhdan的猜想。
• 任何在正则非椭圆元素上具有紧支集的不变广义函数，与可约表示的特征标之间的积分消失，该结果被用于消除欧拉示性数中非椭圆部分的贡献。
• 当G具有非紧中心时，任何可约表示在Grothendieck群 K^0(M) 中的类消失，这意味着此类表示的Ext维数的交错和为零。