[论文解读] Homological stability and stable moduli of flat manifold bundles

Sam Nariman|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文在离散拓扑下建立了高维流形 $\#_g S^n \times S^n \setminus \text{int}(D^{2n})$ 的微分同胚群的同调稳定性，证明当 $n > 2$ 时，其群同调在稳定范围内趋于稳定。稳定同调被识别为与哈夫利格（Haefliger）的叶状丛分类空间相关的无限环空间的同调，且该描述可检测到大 $g$ 时平展 $\text{W}_{g,1}$-丛上的非平凡广义穆尔福-莫里塔-米勒类。

ABSTRACT

We prove that group homology of the diffeomorphism group of $\#^g S^n imes S^n$ as a discrete group is independent of $g$ in a range, provided that $n>2$. This answers the high dimensional version of a question posed by Morita about surface diffeomorphism groups made discrete. The stable homology is isomorphic to the homology of a certain infinite loop space related to the Haefliger's classifying space of foliations. One geometric consequence of this description of the stable homology is a splitting theorem that implies certain classes called generalized Mumford-Morita-Miller classes can be detected on flat $(\#^g S^n imes S^n)$-bundles for $g$ large enough.

研究动机与目标

• 解决关于离散曲面微分同胚群同调稳定性的莫里塔问题在高维的类比。
• 证明当 $n > 2$ 时，$\text{W}_{g,1} = \#_g S^n \times S^n \setminus \text{int}(D^{2n})$ 的微分同胚群的群同调在稳定范围内与 $g$ 无关。
• 将 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 的稳定同调与与哈夫利格叶状丛分类空间相关的无限环空间的同调相联系。
• 证明广义穆尔福-莫里塔-米勒类可在足够大的 $g$ 时被检测到平展的 $\text{W}_{g,1}$-丛上。
• 证明在度数 $2n+1$ 处的有理同调具有不可数维，表明在更高度数中存在非平凡的稳定同调。

提出的方法

• 应用奎伦的稳定性机器，通过 $\text{W}_{g,1}$ 嵌入 $\text{W}_{g+1,1}$ 所诱导的稳定化映射，证明 $\mathrm{Diff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 的同调稳定性。
• 构建 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 的单纯化解析，以分析微分同胚群在配置空间上的作用。
• 利用映射 $\mathrm{B}\Gamma_{2n} \to \mathrm{BGL}_{2n}^+(\mathbb{R})$ 的同伦纤维来建模平展 $\text{W}_{g,1}$-丛的分类空间。
• 通过同伦拉回构造，将稳定同调与 $\mathrm{BGL}_{2n}^+(\mathbb{R})\langle n\rangle$（即 $\mathrm{BGL}_{2n}^+(\mathbb{R})$ 的 $n$-连通覆盖）相联系。
• 利用 $\Omega^\infty \mathbb{MT}\nu^n$ 的无限环空间结构，分析稳定分类空间的有理同调。
• 应用谱序列技术（Serre 型与 Halperin 型），结合 $\mathrm{BDiff}(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 与 $\overline{\mathrm{BDiff}_c(\mathbb{R}^{2n})}$ 的已知结果，计算 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 的低度有理同调群。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n > 2$ 时，随着 $g$ 增大，$\text{W}_{g,1}$ 的离散微分同胚群的群同调是否趋于稳定？
• RQ2 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 的稳定同调是什么？它与已知的无限环空间有何关系？
• RQ3 广义穆尔福-莫里塔-米勒类是否可在大 $g$ 时被检测到平展的 $\text{W}_{g,1}$-丛上？
• RQ4 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 在度数 $2n+1$ 处的有理同调的维数是多少？这对其稳定同调意味着什么？
• RQ5 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 的有理同调在低度如何分解？其来自普遍与约化分类空间的贡献分别是什么？

主要发现

• 当 $n > 2$ 时，稳定化映射 $H_k(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Z}) \to H_k(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g+1,1}, \partial); \mathbb{Z})$ 在 $k < (g-2)/2$ 时是同构，在 $k \leq (g-2)/2$ 时是满射。
• $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 的稳定同调同构于无限环空间 $\Omega^\infty \mathbb{MT}\nu^n$ 的同调，即映射 $\mathrm{BS}\Gamma_{2n} \to \mathrm{BGL}_{2n}^+(\mathbb{R})$ 的同伦纤维。
• 在度数 $2n+1$ 处的有理同调具有不可数维，由对 $h_1 c_1^{2n}$ 的积分所诱导的评价映射 $H_{2n+1}(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) \to \mathbb{R}$ 的满射性所证明。
• 当 $g \geq 4n+4$ 时，映射 $H_{2n+1}(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) \to \mathbb{R}$ 是满射，确认存在不可数多个独立类。
• 在低度中，$H_1(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Z}) \cong H_1(\mathrm{BDiff}(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Z})$，且当 $g \geq 9$ 且 $n \geq 3$ 时，$H_1(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) = 0$。
• 当 $g \geq 9$ 且 $n \geq 3$ 时，有理同调 $H_2(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q})$ 分解为 $H_2(\mathrm{BDiff}(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) \oplus H_2(\overline{\mathrm{BDiff}_c(\mathbb{R}^{2n})}; \mathbb{Q})$，且 $H_3(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) \cong H_3(\overline{\mathrm{BDiff}_c(\mathbb{R}^{2n})}; \mathbb{Q})$。