[论文解读] Homology of Hilbert schemes of points on a locally planar curve

Jørgen Vold Rennemo|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文在局部平面曲线的点的希尔伯特纲上建立了韦尔代数作用，利用与固定点及曲线本身相关的创建/湮灭算子。证明了希尔伯特纲 $C^{[n]}$ 的同调可分解为紧化雅可比簇 $J$ 与新的 $D$-分次结构，从而恢复并改进了 Maulik–Yun 与 Migliorini–Shende 最近的上同调公式。

ABSTRACT

Let C be a proper, integral, locally planar curve, and consider its Hilbert schemes of points C^[n]. We define 4 creation/annihilation operators acting on the rational homology groups of these Hilbert schemes and show that the operators satisfy the relations of a Weyl algebra. The action of this algebra is similar to that defined by Grojnowski and Nakajima for a smooth surface. As a corollary, we compute the cohomology of C^[n] in terms of the cohomology of the compactified Jacobian of C together with an auxiliary grading on the latter. This recovers and slightly strenghtens a formula recently obtained in a different way by Maulik and Yun and independently Migliorini and Shende.

研究动机与目标

• 为一个完备、整的、局部平面曲线 $C$ 的希尔伯特纲 $C^{[n]}$ 的有理同调定义并研究创建/湮灭算子。
• 证明这些算子满足韦尔代数的对易关系，将 Nakajima–Grojnowski 构造推广至奇异曲线。
• 以紧化雅可比簇 $J$ 和新的双分次 $D_m H_*(J)$ 表示 $C^{[n]}$ 的同调，将已知的 $n \geq 2g-1$ 结果推广至所有 $n$。
• 通过湮灭算子核的 Fock 空间构造，为计算 $H_*(C^{[n]})$ 提供新的代数框架。

提出的方法

• 定义两对算子：$\mu_{\pm}[\mathrm{pt}]$ 用于添加/移除一个固定的非奇异点 $x$，以及 $\mu_{\pm}[C]$ 用于旗希尔伯特纲 $(Z, Z')$ 满足 $Z \subset Z'$。
• 利用旗希尔伯特纲 $C^{[n,n+1]}$ 上的 Gysin 映射 $p^!, q^!$ 定义算子，依赖于 $C$ 的局部平面性以确保在奇点存在时仍定义良好。
• 构造一个光滑基 $B$ 上的曲线 $\mathcal{C} \to B$ 的光滑族，使得相对希尔伯特纲 $\mathcal{C}^{[n]}$ 为光滑，从而启用标准对应演算。
• 通过在光滑族中计算并限制到纤维 $C$，证明韦尔代数的对易关系，利用算子可提升至族的性质。
• 定义核 $W = \ker \mu_-[\mathrm{pt}] \cap \ker \mu_-[C]$，并证明 $V(C) \cong W \otimes \mathbb{Q}[\mu_+[\mathrm{pt}], \mu_+[C]]$，从而建立 Fock 空间结构。
• 利用阿贝尔-雅可比映射 $AJ_*: V(C) \to H_*(J)$ 识别 $W \cong H_*(J)$，在紧化雅可比簇上诱导出双分次 $D_m H_i(J)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n < 2g-1$ 时，如何代数地描述奇异曲线 $C$ 的希尔伯特纲 $C^{[n]}$ 的同调？
• RQ2 能否在 $C^{[n]}$ 的同调上定义类似于 Nakajima–Grojnowski 在光滑曲面上的构造的韦尔代数作用？
• RQ3 除了对大 $n$ 已知的丛结构外，$H_*(C^{[n]})$ 与紧化雅可比簇 $J$ 的上同调之间的确切关系是什么？
• RQ4 $H_*(J)$ 上的新 $D$-分次如何改进或恢复现有的 $H_*(C^{[n]})$ 公式？
• RQ5 能否从 $H^*(J)$ 上的 $Q$-滤子与 $D$-分次重构 $C^{[n]}$ 的上同调结构？

主要发现

• 在 $V(C) = \bigoplus_n H_*(C^{[n]})$ 上，四个算子 $\mu_{\pm}[\mathrm{pt}], \mu_{\pm}[C]$ 满足韦尔代数关系 $[\mu_-[\mathrm{pt}], \mu_+[C]] = [\mu_-[C], \mu_+[\mathrm{pt}]] = \mathrm{id}$，其余所有算子对彼此对易。
• 同调 $H_*(C^{[n]})$ 同构于 $\bigoplus_{m \leq n} D_m H_*(J) \otimes \mathrm{Sym}^{n-m}(\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}[2])$，其中 $D_m H_*(J)$ 是紧化雅可比簇上的新双分次。
• 核 $W = \ker \mu_-[\mathrm{pt}] \cap \ker \mu_-[C]$ 同构于 $H_*(J)$，且 $V(C)$ 由 $W$ 与创建算子自由生成。
• $H_*(J)$ 上的 $D$-分次通过阿贝尔-雅可比映射诱导，且满足 $D_m H_i(J) = 0$，除非 $0 \leq m \leq 2g$，其中 $g$ 为 $C$ 的算术亏格。
• 上同调版本的结果表明，$H^*(C^{[n]})$ 上的 $Q$-滤子被算子保持，且 $H^*(C^{[n]})$ 与 $H^*(J)$ 的生成函数满足 $F_J = F_W$，意味着 $D_{\leq i+j} H^i(J) = Q_{\leq j} H^i(J)$。
• 该结果通过提供一个代数的、算子理论的框架以及在 $H_*(J)$ 上的新分次，恢复并加强了 Maulik–Yun 与 Migliorini–Shende 的公式。