[论文解读] Homology of pseudodifferential operators I. Manifolds with boundary

Richard Melrose, Victor Nistor|ArXiv.org|Jun 21, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 100

一句话总结

本文计算了紧致带边流形上尖点伪微分算子代数的Hochschild同调与循环同调，将指标泛函解释为Hochschild 1-上循环。推导出Atiyah-Patodi-Singer指标定理的伪微分推广，结合了边界上悬垂代数的eta不变量，并通过Wodzicki的迹测度和外微分表达指标。

ABSTRACT

The Hochschild and cyclic homology groups are computed for the algebra of `cusp' pseudodifferential operators on any compact manifold with boundary. The index functional for this algebra is interpreted as a Hochschild 1-cocycle and evaluated in terms of extensions of the trace functionals on the two natural ideals, corresponding to the two filtrations by interior order and vanishing degree at the boundary, together with the exterior derivations of the algebra. This leads to an index formula which is a pseudodifferential extension of that of Atiyah, Patodi and Singer for Dirac operators; together with a symbolic term it involves the `eta' invariant on the suspended algebra over the boundary previously introduced by the first author.

研究动机与目标

• 计算紧致带边流形上尖点伪微分算子代数的Hochschild同调与循环同调群。
• 通过迹泛函与外微分，将指标泛函解释为Hochschild 1-上循环。
• 利用同调代数将Atiyah-Patodi-Singer指标定理推广至伪微分设定。
• 通过Wodzicki迹测度、外微分与边界上悬垂代数的eta不变量表达指标。
• 建立同调框架，将指标公式与Hochschild同调长正合序列中的边界映射联系起来。

提出的方法

• 使用谱序列论证，将Hochschild同调识别为余球丛乘以圆因子的de Rham上同调。
• 将余数迹泛函Tr_R定义为Tr(AQ^{-z})的亚纯延拓在z=0处的留数。
• 通过与log Q的交换子引入导子D_log Q，诱导Hochschild上同调上的映射i_log Q。
• 将指标泛函IF(A,B)表示为光滑算子上迹的边界映射像，得到IF(A,B) = Tr_R(A[log Q,B])。
• 应用Hochschild同调中的长正合序列，将指标泛函与符号代数及理想联系起来。
• 利用亚纯延拓与密度配对，分析边界附近拟正则分布的行为，特别是在尖点微分学框架下。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何计算带边流形上尖点伪微分算子的Hochschild同调与循环同调？
• RQ2 指标泛函在Hochschild上循环与边界映射下的同调解释是什么？
• RQ3 尖点算子的指标公式如何在伪微分设定下推广Atiyah-Patodi-Singer定理？
• RQ4 边界上悬垂代数上的eta不变量在指标公式中起什么作用？
• RQ5 按内部阶与边界处消失阶的滤子如何影响代数及其同调结构？

主要发现

• Hochschild同调群HH_k(A)同构于de Rham上同调群H^{2n-k}(S^*X × S^σ)，其中S^*X为余球丛。
• 指标泛函IF是Hochschild 1-上循环，其为光滑算子理想上迹的边界映射像。
• 指标公式包含一个涉及Wodzicki迹测度的符号项，以及一个涉及边界上悬垂代数上eta不变量的项。
• 导子i_log Q对应于H^1(S^σ)生成元的上积，将指标泛函与辛结构联系起来。
• 光滑算子理想是H-单位元，确保Hochschild同调的长正合序列定义良好，并支持边界映射的构造。
• 尖点微分学源于通过t = e^{-1/x}对边界进行超越性爆破，且b-伪微分算子在此变换下可提升为尖点算子。