[论文解读] Homology of SL2 over function fields I: parabolic subcomplexes

Matthias Wendt|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文计算了代数闭域 $k$ 上光滑仿射曲线 $C$ 的 $Δ\mathrm{SL}_2(k[C])$ 的建筑物中抛物子复形的等变同调。使用 $\mathbb{Z}[1/2]$-系数，给出了以单位群 $k[C]^\times$ 和精炼剪切合同群 $\mathcal{RP}^1_\bullet(k)$ 表示的显式公式，推广了 $s=1$ 时 Suslin 的结果，并扩展了对函数域情形同调的理解。

ABSTRACT

The present paper studies the homology of the groups $SL_2(k[C])$ and $GL_2(k[C])$ where $C=\overline{C}\setminus\{P_1,\dots,P_s\}$ is a smooth affine curve over an algebraically closed field $k$. It is well-known that these groups act on a product of trees and the quotients can be described in terms of certain equivalence classes of vector bundles on the complete curve. There is a natural subcomplex of cells with non-unipotent isotropy group. The paper provides explicit formulas for the equivariant homology of this "parabolic subcomplex". These formulas also describe the homology of $SL_2(k[C])$ above degree s, with finite coefficients away from the characteristic of $k$, generalizing a result of Suslin for the case s=1.

研究动机与目标

• 理解代数闭域上仿射曲线 $C$ 的 $\mathrm{SL}_2(k[C])$ 的同调，其中标准分析方法失效。
• 分析与 $\mathrm{SL}_2(k[C])$ 相关的建筑物 $\mathfrak{X}_C$ 中抛物子复形 $\mathfrak{P}_C$ 的结构。
• 显式计算 $\mathfrak{P}_C$ 的等变同调，特别是在度数 $s$ 以上，推广 Suslin 在 $s=1$ 时的结果。
• 通过谱序列技术，将同调与精炼剪切合同群 $\mathcal{RP}^1_\bullet(k)$ 和单位群 $k[C]^\times$ 联系起来。

提出的方法

• 群 $\mathrm{SL}_2(k[C])$ 在树的乘积上作用，通过稳定子谱序列分析商空间 $\mathrm{SL}_2(k[C])\backslash\mathfrak{X}_C$。
• 抛物子复形 $\mathfrak{P}_C$ 定义为具有非幂零稳定子的胞腔的子复形，其连通分支由 $\mathcal{K}(C) = \operatorname{Pic}(C)/\iota$ 索引，其中 $\iota$ 是取逆映射。
• 使用 $\mathbb{Z}[1/2]$-系数计算等变同调，以简化谱序列，该谱序列在关键情形下退化。
• 对于满足 $\mathcal{L}|_C \not\cong \mathcal{L}|_C^{-1}$ 的分支，同调同构于 $\mathrm{H}_\bullet(\mathbb{Z}[1/2], k[C]^\times)$。
• 对于满足 $\mathcal{L}|_C \cong \mathcal{L}|_C^{-1}$ 的分支，推导出涉及 $\tilde{\mathcal{SN}}$（单项矩阵）和 $\mathcal{RP}^1_\bullet(k)$ 的长正合列。
• 通过类似的谱序列分析并比较 $\mathrm{SL}_2$ 情形，将结果推广至 $\mathrm{PGL}_2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在函数域上显式计算 $\mathrm{SL}_2(k[C])$ 的抛物子复形 $\mathfrak{P}_C$ 的等变同调？
• RQ2 除以取逆映射的 Picard 群在索引 $\mathfrak{P}_C$ 的连通分支中起什么作用？
• RQ3 精炼剪切合同群 $\mathcal{RP}^1_\bullet(k)$ 在 $\mathfrak{P}_C$ 的同调计算中如何出现？
• RQ4 当 $\mathcal{L}|_C \cong \mathcal{L}|_C^{-1}$ 时，同调的结构是什么？它与非自对偶情形有何不同？
• RQ5 能否使用 $\mathbb{Z}[1/2]$-系数简化建筑物作用的谱序列，从而得到显式公式？

主要发现

• 等变同调 $\mathfrak{P}_C$ 按 $\mathcal{K}(C) = \operatorname{Pic}(C)/\iota$ 分解为直和，每个分支由类 $[\mathcal{L}]$ 索引。
• 对于满足 $\mathcal{L}|_C \not\cong \mathcal{L}|_C^{-1}$ 的 $[\mathcal{L}] \in \mathcal{K}(C)$，复形 $\mathfrak{P}_C(\mathcal{L})$ 的同调同构于 $\mathrm{H}_\bullet(k[C]^\times, \mathbb{Z}[1/2])$。
• 对于满足 $\mathcal{L}|_C \cong \mathcal{L}|_C^{-1}$ 的 $[\mathcal{L}] \in \mathcal{K}(C)$，存在一个涉及 $\mathcal{RP}^1_\bullet(k)$ 和 $\mathrm{H}_\bullet(\tilde{\mathcal{SN}}, \mathbb{Z}[1/2])$ 的长正合列，其中 $\tilde{\mathcal{SN}}$ 是 $\mathrm{SL}_2(k[C])$ 中的单项矩阵群。
• 复形 $C^\mathrm{alt}_\bullet(F)$ 的谱序列以受控方式退化，微分同构于映射 $\mathcal{RP}^1_q(F) \to \mathrm{H}_{q-1}(\mathrm{N}(F), \mathbb{Z}[1/2])$。
• $\mathcal{RP}^1_q(F)$ 被识别为谱序列中 $d^1$ 和 $d^{q-1}$ 的微分的核，且当 $q \leq 1$ 时为平凡群。
• 长正合列的低度部分恢复了 Bloch-Wigner 序列，且 $\mathcal{RP}^1_2(F) \cong I(F)$，即 $F$ 的 Witt 环中的基本理想。