[论文解读] Homology of spaces of homogeneous polynomials in $R^2$ without multiple zeros

V. A. Vassiliev|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 4被引用 3

一句话总结

该论文利用判别集的锥形化解析，计算了在 ℝ² 中次数为 d 且在任意实直线上无 k 重零点的齐次多项式空间的上同调。关键结果是对所有 d ≥ k ≥ 2 完整描述了上同调群，表明当 k=2 且 d 为偶数时，该空间有 d/2 + 2 个连通分支，其中两个是可缩的，其余的同伦等价于一个圆周。

ABSTRACT

For any natural $d \ge k \ge 2$ we calculate the cohomology groups of the space of homogeneous polynomials $R^2 o R$ of degree $d$, which do not vanish with multiplicity $\ge k$ on real lines. For $k=2$ this problem provides the simplest example of the situation, when the "finite degree" invariants of nonsingular objects are not a complete system of invariants.

研究动机与目标

• 计算在 ℝ² → ℝ 上次数为 d 且在任意实直线上不具有至少 k 重零点的齐次多项式空间的上同调群。
• 理解在齐次多项式空间 HPd 中判别集 Σk 的补集的拓扑结构。
• 分析有限阶不变量在何时无法构成完备系统，特别是当 k=2 且 d 为偶数时的情形。
• 通过连续的单纯剖分类比，将 Arnold 的仿射结果推广到齐次情形。
• 证明由锥形化得到的某些上同调类在稳定化下不保持稳定，表明有限阶不变量的不完备性。

提出的方法

• 应用亚历山大对偶性，将 HPd\Σk 的上同调与判别集 Σk 的 Borel–Moore 上同调联系起来。
• 通过将 ℝP¹ 一般地嵌入 ℝ^N，构造 Σk 的锥形化解析：对每个 f ∈ Σk\{0}，将其与 f 具有至少 k 重零点的直线的像所张成的单形关联。
• 利用 Tarski–Seidenberg 引理，确保解析空间是半代数集并允许三角剖分。
• 基于支持 k 重零点的互异直线数量，对解析空间定义滤子，从而导出一个谱序列。
• 分析谱序列的 E1 项，证明其在特定双次数上非零，具体取决于 k 和 d 的奇偶性。
• 证明谱序列在 E1 项退化，除非 k 为奇数且 d 被 k 整除，在此情况下，一个从 ℤ 到 ℤ2 的 d1-微分将 ℤ2 单元杀死。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℝ² 中，次数为 d 且在任意实直线上避免 k 重零点的齐次多项式空间的上同调结构是什么？
• RQ2 当 k=2 且 d 为偶数时，为何有限阶不变量无法区分某些多项式类（例如正函数与负函数）？
• RQ3 判别集 Σk 的拓扑如何影响其补集 HPd\Σk 的上同调？
• RQ4 为何零多项式作为极限点的存在，要求使用连续的锥形化解析而非单纯化解析？
• RQ5 为何由锥形化得到的上同调类在稳定化下不保持稳定？这对 S¹ 上光滑函数的不变量意味着什么？

主要发现

• 当 k 为偶数时，上同调群 ˜H*(HPd\Σk) 是一个秩为 2[d/k]+1 的自由阿贝尔群，生成元位于维度 k−2, 2(k−2), ..., [d/k](k−2), k−1, 2(k−2)+1, ..., [d/k](k−2)+1，以及 d−2[d/k]。
• 当 k 为奇数且 d 不被 k 整除时，上同调群是某些维度 p(k−2) 和 p(k−2)+1（其中 d−pk 为奇数）上的 ℤ 的直积，维度 p(k−2)+1 上的 ℤ2（当 d−pk 为偶数时），以及维度 d−2[d/k] 上的 ℤ。
• 当 k 为奇数且 d 被 k 整除时，维度 d−2(d/k)+1 上的 ℤ2 直和项消失，导致结构稍为简化。
• 当 d 为偶数且 k=2 时，空间 HPd\Σ2 有 d/2 + 2 个连通分支：两个可缩（正函数与负函数），其余 d/2 个分支各自同伦等价于 S¹。
• 计算 ˜H*(Σk) 的谱序列在 E1 项退化，除非 k 为奇数且 d 被 k 整除，在此情况下，一个从 ℤ 到 ℤ2 的 d1-微分将 ℤ2 单元杀死。
• 在 k=2 且 d 为偶数的情形下，0-维上同调类的非稳定性表明，仅靠有限阶不变量无法区分所有拓扑类型，从而证明了此类不变量的不完备性。