[论文解读] Homology of torus spaces with acyclic proper faces of the orbit space

Anton Ayzenberg|arXiv (Cornell University)|May 19, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文为轨道空间中具有无圈真面的环面流形构建了同调谱序列，表明当作用的自由部分为平凡时，整个谱序列可通过轨道空间的同调与组合结构完全描述。关键结果是对此类流形同调的完整加法描述，包括贝蒂数的显式公式，以及从面环模线性参数系到上同调环的映射的核的显式刻画。

ABSTRACT

Let $X$ be 2n-dimensional compact manifold with a locally standard action of a compact torus. The orbit space $X/T$ is a manifold with corners. Suppose that all proper faces of $X/T$ are acyclic. In the paper we study the homological spectral sequence $E^*_{*,*}\Rightarrow H_*(X)$ corresponding to the filtration of $X$ by orbit types. When the free part of the action is not twisted, we describe the whole spectral sequence in terms of homology and combinatorial structure of $X/T$. In this case we describe the kernel and the cokernel of the natural map $k[X/T]/(l.s.o.p.) o H_*(X)$, where $k[X/T]$ is a face ring of $X/T$ and $(l.s.o.p.)$ is the ideal generated by a linear system of parameters (this ideal appears as the image of $H^{>0}(BT)$ in equivariant cohomology. There exists a natural double grading on $H_*(X)$, which satisfies bigraded Poincare duality. This general theory is applied to compute homology groups of origami toric manifolds with acyclic proper faces of the orbit space. A number of natural generalizations is considered. These include Buchsbaum simplicial complexes and posets. h'- and h''-numbers of simplicial posets appear as the ranks of certain terms in the spectral sequence $E^*_{*,*}$. In particular, using topological argument we show that Buchsbaum posets have nonnegative h''-vectors. The proofs of this paper rely on the theory of cellular sheaves. We associate to a torus space certain sheaves and cosheaves on the underlying simplicial poset, and observe an interesting duality between these objects. This duality seems to be a version of Poincare-Verdier duality between cellular sheaves and cosheaves.

研究动机与目标

• 通过轨道空间的拓扑与组合结构，描述具有无圈真面的环面流形的同调。
• 确定与轨道类型滤子相关的谱序列结构，特别是在主环丛为平凡的情况下。
• 刻画从面环模线性参数系到流形上同调环的自然映射的核与余核。
• 建立底层单纯序集上胞腔层与余层之间的对偶性，将拓扑对偶性与组合不变量联系起来。
• 将理论应用于原生环面流形的同调计算，并证明布克斯鲍姆序集的 $h''$-向量非负性。

提出的方法

• 利用轨道类型滤子构造谱序列 ${{}^{X}}\negmedspace E^{r}_{*,*} \Rightarrow H_*(X)$，其收敛于环面空间 $X$ 的同调。
• 通过将 ${{}^{X}}\negmedspace E^{2}_{*,*}$ 与 $Y = Q \times T^n$ 的 ${{}^{Y}}\negmedspace E^{2}_{*,*}$ 关联，将谱序列约化至轨道空间 $Q = X/T$。
• 在与 $Q$ 对偶的单纯序集上应用胞腔层与余层理论，建立类似庞加莱–维尔德ier的对偶性。
• 利用单纯序集的面向量及 $h'$-与 $h''$-数计算谱序列项的秩。
• 通过等变周期与线性参数系的关系，显式描述映射 $\Bbbk[S]/\Theta \to H^*(X)$ 的核。
• 通过主 $T^n$-丛上的典范模型构造，将一般问题约化为平凡丛的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当轨道空间的所有真面均为无圈，但轨道空间本身未必是无圈时，如何描述环面流形的同调？
• RQ2 在主环丛为平凡的情况下，与轨道类型滤子相关的谱序列 ${{}^{X}}\negmedspace E^{r}_{*,*}$ 的结构是怎样的？
• RQ3 与轨道空间对偶的单纯序集的 $h'$-与 $h''$-数如何与环面流形的同调相关联？
• RQ4 自然映射 $\Bbbk[S]/\Theta \to H^*(X)$ 的核是什么？其在等变周期的术语下如何描述？
• RQ5 胞腔层与余层之间的对偶性能否用于证明布克斯鲍姆序集的 $h''$-向量非负性？

主要发现

• 当主丛为平凡时，谱序列 ${{}^{X}}\negmedspace E^{r}_{*,*}$ 完全由轨道空间 $Q$ 的同调与组合结构决定。
• 流形 $X$ 的贝蒂数与特征映射无关，仅依赖于 $Q$ 的组合结构与 $b_1 = \dim H^1(Q)$。
• 当 $q \neq n-2$ 时，$\dim {{}^{X}}\negmedspace E^{\infty}_{q,q} = h'_{n-q}$；而 $\dim {{}^{X}}\nolimits^{\infty}_{n-2,n-2} = h'_2 - \binom{n}{2}b_1$。
• 明确计算出 $\dim H_{1,0}(X) = \dim H_{n,n-1}(X) = b_1$ 与 $\dim H_{n,n-2}(X) = n b_1$。
• 映射 $\Bbbk[S]/\Theta \to H^*(X)$ 的核仅在度数 4 处非平凡，其生成元通过关系 $L'_{\beta,A}$ 描述。
• 布克斯鲍姆序集的 $h''$-向量非负，该结论通过拓扑对偶性与谱序列分析得以证明。