[论文解读] Homology theory valued in the category of bicommutative Hopf algebras

Minkyu Kim|arXiv (Cornell University)|May 10, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文在域 $k$ 上的双交换霍普夫代数的阿贝尔范畴中构造了广义同调理论，引入了既非群霍普夫代数也非函数霍普夫代数的非平凡例子。它确立了两个主要结果：(1) 任意双交换霍普夫代数系数的普通同调理论存在；(2) 通过域作用的霍普夫代数上的指数函子可构造出非平凡的异常同调理论，从而严格推广了Dijkgraaf-Witten与Turaev-Viro拓扑量子场论。

ABSTRACT

The codomain category of a generalized homology theory is the category of modules over a ring. For an abelian category A, an A-valued (generalized) homology theory is defined by formally replacing the category of modules with the category A. It is known that the category of bicommutative (i.e. commutative and cocommutative) Hopf algebras over a field k is an abelian category. Denote the category by H. In this paper, we give some ways to construct H-valued homology theories. As a main result, we give H-valued homology theories whose coefficients are neither group Hopf algebras nor function Hopf algebras. The examples contain not only ordinary homology theories but also extraordinary ones.

研究动机与目标

• 在域 $k$ 上的双交换霍普夫代数的阿贝尔范畴中发展广义同调理论。
• 构造非平凡的 $Ση$-值同调理论，其不源于群霍普夫代数或函数霍普夫代数。
• 为 $\mathbb{F}_3$ 和 $\mathbb{F}_9$ 等域构造有限维、半单、双交换霍普夫代数的非平凡结构示例。
• 扩展从霍普夫代数值同调构造拓扑量子场论（TQFT）的框架。
• 证明在代数闭域如 $\mathbb{C}$ 上，所有此类同调理论均为平凡的，凸显域依赖性。

提出的方法

• 正式地将广义同调的余定义域从 $\mathsf{Mod}_R$ 替换为域 $k$ 上双交换霍普夫代数的阿贝尔范畴 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$。
• 使用群霍普夫代数函子构造平凡同调理论，这些理论虽为 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-值，但结构上并无新意。
• 对任意双交换霍普夫代数 $A$ 构造普通同调理论 $H_\bullet(-;A)$，并证明其对任意 $A$ 均存在。
• 利用由具有 $L$-作用的双交换霍普夫代数 $A$ 诱导的指数函子，将 $\mathsf{Vec}^{\mathsf{fin}}_L$-值同调理论提升为 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-值理论。
• 显式构造 $\mathbb{F}_3$ 上的非平凡双交换霍普夫代数，其基底代数为 $\mathbb{F}_3 \oplus \mathbb{F}_9 \oplus \mathbb{F}_9$，并给出其余乘法、单位元和对极映射的公式。
• 通过归一化积分 $\sigma_{D_1} = a$ 与归一化余积分 $\sigma^{D_1} = -\delta_a + \delta_{b_1} + \delta_{c_1}$ 验证其半单性与余半单性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在域 $k$ 上的双交换霍普夫代数范畴中构造广义同调理论？
• RQ2 是否存在不源于群或函数霍普夫代数的非平凡 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-值同调理论？
• RQ3 在有限域上，何种条件可保证双交换霍普夫代数为半单且余半单？
• RQ4 霍普夫代数上的域作用如何通过指数函子实现异常同调理论的构造？
• RQ5 为何在代数闭域如 $\mathbb{C}$ 上，所有 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-值同调理论均为平凡的？这对TQFT构造有何启示？

主要发现

• 对任意域 $k$ 上的双交换霍普夫代数 $A$，存在普通同调理论 $E_\bullet(-) = H_\bullet(-;A)$，满足 $E_0(\mathrm{pt}) \cong A$，且当 $A$ 不是群或函数霍普夫代数时，该理论为非平凡的。
• 在 $k = \mathbb{F}_3$ 上，本文在 $\mathbb{F}_3 \oplus \mathbb{F}_9 \oplus \mathbb{F}_9$ 上构造了两个非同构的双交换霍普夫代数结构 $D_1$ 与 $D_2$，二者均为半单且余半单，且 $\dim_k D_1 = 3 + 9 + 9 = 21$。
• 霍普夫代数 $D_1$ 仅有唯一一个群点元素 $\eta$，其对偶仅有唯一一个群点元素 $\epsilon$，证明其非群霍普夫代数。
• 归一化积分 $\sigma_{D_1} = a$ 与归一化余积分 $\sigma^{D_1} = -\delta_a + \delta_{b_1} + \delta_{c_1}$ 确认 $D_1$ 同时为半单与余半单。
• 通过指数函子的构造，从 $\mathsf{Vec}^{\mathsf{fin}}_L$-值同调理论 $F_\bullet$ 可得 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-值同调理论 $(A,\alpha)^{F\bullet}$，且当 $\dim_k A > 1$ 时，该理论为普通理论当且仅当 $F_\bullet$ 为普通理论。
• 在代数闭域如 $\mathbb{C}$ 上，所有 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-值同调理论均为平凡的，即仅源于群或函数霍普夫代数。