[论文解读] Homology torsion growth and Mahler measure

Thang T. Q. Lê|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文证明了代数动力系统与低维拓扑中的两个猜想：K. Schmidt关于群环上代数动力系统中不动点分支增长速率的猜想，以及Silver和Williams关于链路补图的阿贝尔覆盖中同调挠率增长结果的推广。两个极限均被证明由相关模的第一个非零亚历山大多项式的Mahler测度所控制，通过伪同构理论及交换代数与代数几何工具将问题约化至挠模情形，利用Bombieri–Zannier和Lawton型结果构造了显式序列。

ABSTRACT

We prove a conjecture of K. Schmidt in algebraic dynamical system theory on the growth of the number of components of fixed point sets. We also generalize a result of Silver and Williams on the growth of homology torsions of finite abelian covering of link complements. In both cases, the growth is expressed by the Mahler measure of the first non-zero Alexander polynomial of the corresponding modules. We use the notion of pseudo-isomorphism, and also tools from commutative algebra and algebraic geometry, to reduce the conjectures to the case of torsion modules. We also describe concrete sequences which give the expected values of the limits in both cases. For this part we utilize a result of Bombieri and Zannier (conjectured before by A. Schinzel) and a result of Lawton (conjectured before by D. Boyd).

研究动机与目标

• 证明K. Schmidt关于群环上代数动力系统中不动点集连通分支数的渐近增长速率的猜想。
• 将Silver和Williams关于链路补图的阿贝尔覆盖中同调挠率增长的结果推广至第一个非零亚历山大多项式并非0阶的情形。
• 确立不动点分支与同调挠率的增长速率精确等于模的第一个非零亚历山大多項式的Mahler测度。
• 利用递推与密度的数论结果，构造显式子群序列以实现极限增长速率。

提出的方法

• 通过伪同构概念，将$\mathbb{Z}[t_1^{\pm1}, \dots, t_n^{\pm1}]$上有限生成模的一般情形约化至挠模情形。
• 应用交换代数与代数几何工具分析模结构，并将其与亚历山大多项式关联。
• 利用已知的熵公式$h(M) = \mathbb{M}(\Delta_0(M))$于挠模情形，确立基础情况。
• 构造$\mathbb{Z}^n$的子群$\Gamma_{s,j}$序列，其最小范数递增且生成元互素，以逼近极限。
• 应用Bombieri–Zannier定理（Schinzel猜想）以确保单位球面上特定有理方向的稠密性。
• 应用Lawton结果（Boyd猜想）以控制整向量序列上对数Mahler测度的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 代数动力系统中不动点集连通分支数的增长速率是否等于挠子模的亚历山大多项式Mahler测度？
• RQ2 Silver–Williams关于阿贝尔覆盖中同调挠率增长的结果能否推广至第一个非零亚历山大多项式不是$\Delta_0(L)$的情形？
• RQ3 链路补图的有限阿贝尔覆盖中同调挠率的极限增长速率是否等于第一个非零亚历山大多项式的Mahler测度？
• RQ4 能否构造显式子群序列，使得对数挠率增长速率收敛于相关多项式的Mahler测度？
• RQ5 伪同构在将一般模约化为挠模以计算渐近增长速率的过程中起何作用？

主要发现

• K. Schmidt关于不动点分支增长的猜想得以证明：$\limsup_{\langle\Gamma\rangle\to\infty} \frac{\log P_\Gamma(\hat{M})}{|\mathbb{Z}^n / \Gamma|} = h(\mathfrak{tor}(M))$，且等式等于挠子模0阶亚历山大多项式的Mahler测度。
• Silver和Williams结果的推广得以建立：对于链路补图，$\limsup_{\langle\Gamma\rangle\to\infty} \frac{\log |\mathfrak{tor}_\mathbb{Z}(H_1(X_\Gamma,\mathbb{Z}))|}{|\mathbb{Z}^n / \Gamma|} = \mathbb{M}(\Delta(L))$，其中$\Delta(L)$为第一个非零亚历山大多项式。
• 当$n=1$时，两种情形的$\limsup$均可替换为普通极限，确认了扭结情形下的收敛性。
• 构造了显式序列$\Gamma_{s,j_s}$，使得挠率增长速率收敛于Mahler测度，利用坐标互素且范数递增的整向量。
• 证明依赖于$\mathbb{Z}[\mathbb{Z}^n / \Gamma_{s,j}] \otimes M$成为有限循环群环上的模，从而可约化至一元情形。
• 利用球面上有理方向的稠密性及Bombieri–Zannier/Lawton定理，控制序列上Mahler测度的收敛性，从而证明极限收敛。