[论文解读] Homomorphisms of abelian varieties

Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|Jun 14, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 11

一句话总结

本文建立了阿贝尔簇的自同态代数具有域中心的条件，证明了若在素数阶ℓ的点上的伽罗瓦作用足够大，则自同态代数是ℚ上的中心单代数。关键结果表明，若自同态代数中CM型域的中心化子维数达到最大，则该阿贝尔簇同构于一个绝对简单CM型阿贝尔簇的自积。

ABSTRACT

We discuss Galois properties of points of prime order on an abelian variety that imply the simplicity of its endomorphism algebra. Applications to hyperelliptic jacobians are given. In particular, we improve some of our earlier results.

研究动机与目标

• 表征阿贝尔簇的自同态代数的中心为域的条件。
• 将ℓ挠子群上的伽罗瓦表示与自同态代数的结构联系起来。
• 建立阿贝尔簇同构于一个绝对简单阿贝尔簇的自积的判别准则。
• 研究复乘（CM）在决定自同态代数结构中的作用。
• 证明最大中心化子维数蕴含CM型结构，并且同构于一个简单阿贝尔簇的自积。

提出的方法

• 分析素数ℓ ≠ char(K) 时在ℓ挠子群 $X_\ell$ 上的伽罗瓦作用，使用其在 $\mathrm{GL}_{2\dim(X)}(\mathbb{F}_\ell)$ 中的像 $\tilde{G}_{\ell,X,K}$。
• 利用 $\mathrm{End}^0(X)$ 是ℚ上的中心单代数的性质，当伽罗瓦像在 $X_\ell$ 上不可约作用时成立。
• 应用ℓ挠子群点的定义域之间的线性不相交性，以证明非同构阿贝尔簇之间有 $\mathrm{Hom}(X,Y) = 0$。
• 利用同构 $\mathrm{End}^0(X) \cong \mathrm{M}_d(\mathrm{End}^0(Z))$，当 $X$ 同构于 $Z^d$ 时，保持自同态代数的中心不变。
• 应用阿尔伯特分类与本田-塔特理论，对正特征情形下的除法代数和超奇异阿贝尔簇进行分类。
• 通过维数计数与域嵌入，证明最大中心化子维数迫使 $X$ 同构于一个简单CM型阿贝尔簇的自积。

实验结果

研究问题

• RQ1 在ℓ挠子群点上，何种伽罗瓦理论条件可使 $\mathrm{End}^0(X)$ 的中心为域？
• RQ2 当两个阿贝尔簇 $X$ 与 $Y$ 的ℓ挠子群点的定义域线性不相交时，为何可推出 $\mathrm{Hom}(X,Y) = 0$？
• RQ3 当自同态代数中CM型域 $E$ 的中心化子维数达到最大时，何时可推出 $X$ 同构于一个绝对简单阿贝尔簇的自积？
• RQ4 在自同态代数中包含一个次数为 $2\dim(X)$ 的域时，何种条件可保证该阿贝尔簇为CM型？
• RQ5 当基域的特征影响 $\mathrm{End}^0(X)$ 的结构时，若 $E$ 不包含CM子域，会发生什么？

主要发现

• 若 $X_\ell$ 上的伽罗瓦像不可约作用，则 $\mathrm{End}^0(X)$ 是ℚ上的中心单代数，且其中心为域。
• 若两个阿贝尔簇 $X$ 与 $Y$ 的ℓ挠子群点的定义域线性不相交，且伽罗瓦像在 $X_\ell$ 与 $Y_\ell$ 上均不可约作用，则 $\mathrm{Hom}(X,Y) = 0$。
• 当 $X$ 允许复乘于域 $E$，且 $\mathrm{End}^0(X)$ 中 $E$ 的中心化子维数为 $\left(\frac{2\dim(X)}{[E:\mathbb{Q}]}\right)^2$ 时，则 $X$ 同构于一个绝对简单阿贝尔簇的自积。
• 在特征零情形下，若 $\mathrm{End}^0(X)$ 包含一个次数为 $2\dim(X)$ 的域 $E$，则 $E$ 必含CM域，且 $X$ 为CM型。
• 在正特征情形下，若 $E$ 不含CM子域，则 $X$ 必为超奇异，并同构于一个超奇异椭圆曲线的幂。
• 等式 $\dim_E(\mathrm{End}^0(X,i)) = \left(\frac{2\dim(X)}{[E:\mathbb{Q}]}\right)^2$ 成立当且仅当 $X$ 同构于一个单一绝对简单阿贝尔簇的自积。