[论文解读] Homomorphisms of abelian varieties over finite fields

Yuri G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文使用有限群概形，避免依赖弗罗贝尼乌斯自同态或迪尤丹模块，提供了塔特关于有限域上阿贝尔簇同态定理的统一、自包含证明。证明了两个有限域上的阿贝尔簇彼此同源当且仅当对所有素数 $\ell$（包括 $\ell = p$）其 $\omega$-可除群同构，并构造了非同构椭圆曲线但其 $\ell$-可除群同构的显式例子。

ABSTRACT

These are notes of my lectures at the summer school "Higher-dimensional geometry over finite fields" in Goettingen, June--July 2007. We present a proof of Tate's theorem on homomorphisms of abelian varieties over finite fields (including the $\ell=p$ case) that is based on a "quaternion trick". In fact, a a slightly stronger version of those theorems with "finite coefficients" is proven.

研究动机与目标

• 提供有限域上阿贝尔簇同态定理的统一、自包含证明。
• 建立对所有素数 $\ell$（包括 $\ell = p$）同源性与 $\ell$-可除群同构之间的等价性。
• 避免对 $\ell \neq p$ 依赖弗罗贝尼乌斯自同态，对 $\ell = p$ 避免依赖迪尤丹模块，转而使用有限群概形和有限系数。
• 构造有限域上非同构椭圆曲线的显式例子，其对所有 $\ell$ 的 $\ell$-可除群同构。

提出的方法

• 使用有限交换群概形及其性质，包括同态下像与核的结构。
• 应用有限域上 $\ell$-可除群（巴罗蒂-塔特定理群）的理论，聚焦于其同构类型。
• 采用一种“四元数技巧”，将模 $n$ 的自同态与阿贝尔簇的有限群子概形联系起来。
• 使用中国剩余定理及虚二次域中的理想理论，构造具有可控次数的同源映射。
• 应用有限群子概形的一个关键结果，证明对所有 $n$ 的 $n$-挠子群同构蕴含 $\ell$-可除群同构。
• 依赖于：若在代数闭包点上的伽罗瓦模同构，则其在基域上的相应有限群概形也同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，两个有限域上的阿贝尔簇彼此同源？
• RQ2 何时两个阿贝尔簇对所有素数 $\ell$（包括 $\ell = p$）具有同构的 $\ell$-可除群？
• RQ3 有限域上非同构的椭圆曲线能否对所有 $\ell$ 具有同构的 $\ell$-可除群？
• RQ4 如何在不使用弗罗贝尼乌斯自同态或迪尤丹模块的前提下证明塔特定理？
• RQ5 有限群概形与有限系数在刻画有限域上阿贝尔簇之间同态时起什么作用？

主要发现

• 两个有限域上的阿贝尔簇彼此同源当且仅当对所有素数 $\ell$（包括 $\ell = p$）其 $\ell$-可除群同构。
• 对每个素数 $\ell$，存在一个非同构椭圆曲线之间的同源映射，其次数不被 $\ell$ 整除，从而保证 $\ell$-可除群同构。
• 两个非同构椭圆曲线在有限域上的 $\ell$-可除群可对所有 $\ell$（包括 $\ell = \mathrm{char}(K)$）同构。
• 两个有限域上阿贝尔簇的 $n$-挠子群对所有 $n$ 同构，当且仅当其对所有 $\ell$ 的 $\ell$-可除群同构。
• 有限域上阿贝尔簇的 $\bar{K}$-点上的伽罗瓦模同构，当且仅当其对所有 $\ell$ 的 $\ell$-可除群同构。
• 构造具有可控 $\ell$-幂次数的同源映射，依赖于类数大于一的虚二次域中的理想理论。