[论文解读] Homothetic solitons for the inverse mean curvature flow

Ildefonso Castro, Ana M. Lerma|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文研究了欧几里得空间中逆平均曲率流（IMCF）的相似自相似解，重点关注拉格朗日子流形和伪脐子流形。研究证明，闭合的相似自相似解必为球面对称的极小浸入，并首次证明在 $\mathbb{C}^2$ 中，克利福德环面是唯一闭合的拉格朗日自相似解。主要贡献在于通过逆曲线缩短流的自相似曲线与奇维球面上的极小叶状浸入，对伪脐拉格朗日自相似解进行了分类。

ABSTRACT

We study solutions to the inverse mean curvature flow which evolve by homotheties of a given submanifold with arbitrary dimension and codimension. We first show that the closed ones are necessarily spherical minimal immersions and so we reveal the strong rigidity of the Clifford torus in this setting. Mainly we focus on the Lagrangian case, obtaining numerous examples and uniqueness results for some products of circles and spheres that generalize the Clifford torus to arbitrary dimension. We also characterize the pseudoumbilical ones in terms of soliton curves for the inverse curve shortening flow and minimal Legendrian immersions in odd-dimensional spheres. As a consequence, we classify the rotationally invariant Lagrangian homothetic solitons for the inverse mean curvature flow.

研究动机与目标

• 研究任意余维下逆平均曲率流（IMCF）的相似自相似解的特征。
• 建立闭合相似自相似解的强刚性结果，特别是证明在 $\mathbb{C}^2$ 中克利福德环面是唯一的闭合拉格朗日自相似解。
• 通过与自相似曲线及极小叶状浸入的对应关系，对伪脐拉格朗日相似自相似解进行分类。
• 将已知的超曲面自相似解结果推广至更高余维及拉格朗日子流形。

提出的方法

• 推导出在 IMCF 下通过相似变换演化时的自相似解方程 $-\frac{H}{|H|^2} = a\phi^\perp$，其中 $a \neq 0$。
• 利用伪脐拉格朗日子流形的局部分类，将解参数化为 $\phi(t,x) = \alpha(t)\psi(x)$，其中 $\alpha$ 为平面曲线，$\psi$ 为叶状浸入。
• 应用叶状角映射与诱导度量公式，导出条件 $a\langle\alpha',J\alpha\rangle\left(\arg\alpha' + (n-1)\arg\alpha\right)' = |\alpha'|^2$。
• 引入变换 $\beta = \alpha^n$，将自相似解条件化为 $n a \langle\beta',J\beta\rangle \kappa_\beta = |\beta'|$，从而与一维 IMCF 自相似解建立联系。
• 应用逆曲线缩短流的自相似曲线分类结果，对所有伪脐拉格朗日自相似解进行表征。
• 利用 Hopf 纤化丛与极小叶状浸入构造显式例子，包括广义柱面与旋转对称自相似解。

实验结果

研究问题

• RQ1 闭合子流形在逆平均曲率流下成为相似自相似解的必要几何条件是什么？
• RQ2 为何克利福德环面是 $\mathbb{C}^2$ 中唯一的闭合拉格朗日相似自相似解？它具备何种刚性性质？
• RQ3 伪脐拉格朗日相似自相似解在 IMCF 下能否通过低维自相似曲线进行分类？
• RQ4 极小叶状浸入在构造高维拉格朗日自相似解中扮演何种角色？
• RQ5 哪些旋转对称拉格朗日子流形可作为逆平均曲率流的相似自相似解？

主要发现

• 所有 IMCF 的闭合相似自相似解均为球面对称的极小浸入，表明在余维一及更高维下具有强刚性。
• 克利福德环面 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$ 是 $\mathbb{C}^2$ 中唯一的闭合拉格朗日相似自相似解，确认其特殊地位。
• 在旋转对称拉格朗日自相似解族中，唯一的闭合解为 Hopf 浸入 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{C}^n$，其中 $a = 1/n$ 且 $|c_1| = n^{n/2}$。
• 伪脐拉格朗日相似自相似解在局部上合同于 $\alpha(t)\psi(x)$，其中 $\psi$ 为极小叶状浸入，且 $\alpha^n$ 为逆曲线缩短流的自相似曲线。
• 通过依赖速度 $a$ 的三角函数或双曲函数显式参数化，实现了对旋转对称拉格朗日自相似解的分类。
• 对于任意 $a \neq 0$，广义柱面 $\mathcal{C} \times \mathbb{R}^{n-1}$ 均为拉格朗日相似自相似解，前提是 $\mathcal{C}$ 为逆曲线缩短流的自相似曲线。