[论文解读] Homotopy dimension of orbits of Morse functions on surfaces

Sergiy Maksymenko|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2007

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 2被引用 11

一句话总结

该论文证明了在紧致曲面 $M$ 上（其中 $P = \mathbb{R}$ 或 $S^1$），Morse 函数 $f:M\to P$ 的轨道 $\Omega_f(f)$ 同伦等价于 $M$ 内部的 $n$-阶配置空间的覆盖空间，其中 $n$ 为临界点的个数。这表明轨道的（上）同调在维度大于 $2n-1$ 时消失，且其基本群可嵌入到 $n$-阶 braid 群 $\mathcal{B}_n(M)$ 中，从而为轨道的同伦维数提供了精确的上界。

ABSTRACT

Let $f$ be a real- or circle-valued Morse function on a compact surface M having exactly $n>0$ critical points. Denote by $O$ the orbit of $f$ with respect to the right action of the group of diffeomorphisms of $M$. We show that the connected components of $O$ have the homotopy type of a finite-dimensional CW-complex. Actually, these connected components are homotopy equivalent to a certain covering space of the $n$-th configuration space of the interior of $M$. As a consequence we obtain that the fundamental group of $O$ is a subgroup of the $n$-th braid group of $M$.

研究动机与目标

• 确定在微分同胚群的单位连通分支作用下，Morse 函数 $f:M\to P$ 的轨道 $\mathcal{O}_f(f)$ 的同伦类型。
• 为这类轨道的同伦维数建立一个精确的上界，特别是以临界点个数为参数。
• 将轨道的基本群与 braid 群 $\mathcal{B}_n(M)$ 联系起来，并将轨道描述为 $\mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ 配置空间的覆盖空间。

提出的方法

• 将轨道 $\mathcal{O}_f(f)$ 定义为在 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(M)$ 作用下 $f$ 所在的路径连通分支，其作用形式为 $h \cdot f = f \circ h^{-1}$。
• 构造一个纤维丛 $k: \mathcal{O}_f(f) \to \mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$，将每个函数映射到其临界点的集合。
• 证明 $k$ 是一个局部平凡纤维丛，其纤维为 $\mathcal{O}_f(f, \Sigma_f)$，即临界点集的稳定化子作用下的轨道。
• 利用 $\mathcal{O}_f(f, \Sigma_f)$ 是可缩的（由先前结果）的事实，推导出 $k$ 在 $\pi_1$ 上诱导单同态，并在 $i \geq 2$ 时诱导同构。
• 将 $k$ 提升为 $\mathcal{O}_f(f)$ 与 $\mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ 的覆盖空间 $\mathcal{F}(f)$ 之间的同伦等价，其中 $\mathcal{F}(f)$ 对应于 $\pi_1(\mathcal{O}_f(f))$ 在 $\pi_1(\mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)) \cong \mathcal{B}_n(M)$ 中的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 在微分同胚同伦下，紧致曲面上 Morse 函数的轨道 $\mathcal{O}_f(f)$ 的同伦类型是什么？
• RQ2 临界点个数 $n$ 如何限制 $\mathcal{O}_f(f)$ 的同伦维数？
• RQ3 能否将 $\mathcal{O}_f(f)$ 实现为 $\mathrm{Int}\,M$ 中点的配置空间的覆盖空间？
• RQ4 $\pi_1(\mathcal{O}_f(f))$ 与 braid 群 $\mathcal{B}_n(M)$ 之间存在何种关系？

主要发现

• 轨道 $\mathcal{O}_f(f)$ 同伦等价于 $n$-阶配置空间 $\mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ 的一个覆盖空间 $\mathcal{F}(f)$，其中 $n$ 为函数 $f$ 的临界点个数。
• 因此，$\mathcal{O}_f(f)$ 的（上）同调在所有维度大于 $2n-1$ 时消失，即 $\mathrm{h.d.}\, \mathcal{O}_f(f) \leq 2n-1$。
• 基本群 $\pi_1(\mathcal{O}_f(f))$ 同构于 $n$-阶 braid 群 $\mathcal{B}_n(M)$ 的一个子群。
• 纤维丛 $k: \mathcal{O}_f(f) \to \mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ 在 $\pi_1$ 上诱导单同态，并在 $i \geq 2$ 时诱导同构，从而实现与覆盖空间的同伦等价。
• 覆盖映射 $\mathcal{F}(f) \to \mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ 不一定是正规的，因此 $\pi_1(\mathcal{O}_f(f))$ 不一定是 $\mathcal{B}_n(M)$ 的正规子群。
• 对于一般 Morse 映射（临界值互异），轨道 $\mathcal{O}_f(f)$ 要么是可缩的，要么同伦等价于环面或 $\mathbb{R}P^3 \times T^k$，但一般性结果与一般性无关。