[论文解读] Homotopy fixed points for L_K(n)(E_n ^ X) using the continuous action

Daniel G. Davis|ArXiv.org|Jan 26, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用 9

一句话总结

本文证明了对于闭子群 $G \leq G_n$，$E_n \wedge X$ 的 $K(n)$-局部化 admits 一个连续的 $G$-作用，并构造了一个计算其同伦固定点的下降谱序列。关键结果表明，当 $j \geq 1$ 时，$G_n$ 作用下 $\hat{L}(E_n^{(j+1)})$ 的同伦固定点同构于 $\hat{L}(E_n^{(j)})$，从而在 $K(n)$-局部谱与连续群上同调之间建立了结构性联系。

ABSTRACT

Let G be a closed subgroup of G_n, the extended Morava stabilizer group. Let E_n be the Lubin-Tate spectrum, let X be an arbitrary spectrum with trivial G-action, and define E^(X) to be L_K(n)(E_n ^ X). We prove that E^(X) is a continuous G-spectrum with a G-homotopy fixed point spectrum, defined with respect to the continuous action. Also, we construct a descent spectral sequence whose abutment is the homotopy groups of the G-homotopy fixed point spectrum of E^(X). We show that the homotopy fixed points of E^(X) come from the K(n)-localization of the homotopy fixed points of the spectrum (F_n ^ X).

研究动机与目标

• 通过 $\hat{L}(E_n \wedge X)$ 上的连续 $G$-作用，定义并研究同伦固定点谱 $(\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG}$，其中 $G \leq G_n$ 为闭子群。
• 构造一个下降谱序列，其收玫极限为 $\pi_*( (\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG} )$。
• 证明 $\hat{L}(E_n \wedge X)$ 的同伦固定点源于 $F_n \wedge X$ 的同伦固定点的 $K(n)$-局部化。
• 建立 $\hat{L}(E_n \wedge X)^{hG}$ 的谱序列与 $K(n)$-局部 $E_n$-Adams 谱序列之间的比较。
• 计算 $\pi_*( (\hat{L}(E_n^{(j+1)}) )^{hG_n} )$，并证明当 $j \geq 1$ 时，其同构于 $\pi_*( \hat{L}(E_n^{(j)}) )$。

提出的方法

• 通过其作为纤维化离散 $G_n$-谱的同伦极限的结构，证明谱 $\hat{L}(E_n \wedge X)$ 是一个连续的 $G_n$-谱。
• 利用 $G$ 在 $\hat{L}(E_n \wedge X)$ 上的连续作用，定义同伦固定点谱 $(\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG}$。
• 构造一个谱序列，其 $E_2$-项为 $E_2^{s,t} = \pi^s \pi_t( \mathrm{holim}_I (\Gamma^\bullet_G(F_n \wedge M_I \wedge X)_{f,G})^G )$，条件收敛于 $\pi_*( (\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG} )$。
• 对于 $E_n$-Mittag-Leffler 谱 $X$，$E_2$-项简化为连续上同调：$E_2^{s,t} \cong H^s_{\mathrm{cts}}(G; \pi_t(\hat{L}(E_n \wedge X)))$。
• 将谱序列应用于计算 $\pi_*( (\hat{L}(E_n^{(j+1)}) )^{hG_n} )$，利用同构 $\pi_t(\hat{L}(E_n^{(j+1)})) \cong \mathrm{Map}_c^\ell(G_n^j, \pi_t(E_n))$。
• 利用 $s > 0$ 时更高阶连续上同调 $H^s_{\mathrm{cts}}(G_n; \cdots)$ 的消失性，推导出在稳定范畴中 $\hat{L}(E_n^{(j+1)})^{hG_n} \simeq \hat{L}(E_n^{(j)})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 连续作用于 $E_n$ 时，如何定义并计算 $L_{K(n)}(E_n \wedge X)$ 的同伦固定点？
• RQ2 $\pi_*( (\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG} )$ 的下降谱序列具有何种结构？
• RQ3 $\hat{L}(E_n \wedge X)$ 上的连续 $G_n$-作用如何与 $F_n \wedge X$ 的同伦固定点相关联？
• RQ4 能否将 $\hat{L}(E_n \wedge X)^{hG}$ 的谱序列与 $K(n)$-局部 $E_n$-Adams 谱序列进行比较？
• RQ5 当 $j \geq 1$ 时，$\hat{L}(E_n^{(j+1)})^{hG_n}$ 的同伦类型是什么？

主要发现

• 证明了对于任意闭子群 $G \leq G_n$，$K(n)$-局部谱 $\hat{L}(E_n \wedge X)$ 是一个连续的 $G$-谱。
• 构造了一个下降谱序列，其 $E_2$-项为 $E_2^{s,t} = \pi^s \pi_t( \mathrm{holim}_I (\Gamma^\bullet_G(F_n \wedge M_I \wedge X)_{f,G})^G )$，条件收敛于 $\pi_*( (\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG} )$。
• 对于 $E_n$-Mittag-Leffler 谱 $X$，$E_2$-项简化为连续上同调：$E_2^{s,t} \cong H^s_{\mathrm{cts}}(G; \pi_t(\hat{L}(E_n \wedge X)))$。
• 当 $X$ 为有限谱时，谱序列的形式为 $H^s_c(G; \pi_t(E_n \wedge X)) \Rightarrow \pi_{t-s}((\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG})$。
• 当 $j \geq 1$ 时，谱序列的计算表明 $\pi_*( (\hat{L}(E_n^{(j+1)}) )^{hG_n} ) \cong \pi_*( \hat{L}(E_n^{(j)}) )$ 作为阿贝尔群。
• 由此可得，在稳定范畴中当 $j \geq 1$ 时有 $\hat{L}(E_n^{(j+1)})^{hG_n} \simeq \hat{L}(E_n^{(j)})$。