[论文解读] Homotopy groups of complements and non-isolated singularities

Anatoly Libgober, Mihai Tibăr|ArXiv.org|Feb 6, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文在全局（多项式）和局部（芽）情形下，建立了具有非孤立奇点的超曲面补集的首个非平凡同伦群与Milnor纤维同调之间的直接联系。它表明，在原点附近的小球内，同伦群 $π_{n-1}(B_H \setminus B_H \cap V)$ 是挠群，且其阶整除对应球面上同伦群的阶，在局部情形下，单值变换的特征多项式与该阶一致。

ABSTRACT

We obtain sufficient conditions for the vanishing of higher homotopy groups of the complements to hypersurfaces in ${\mathbb C}^n$ in terms of the behavior at infinity and relate the monodromy of non isolated singularities to the position of singularities in generic plane sections.

研究动机与目标

• 阐明非孤立奇点与补集同伦型之间拓扑关系。
• 将关于在无穷远处具有非孤立奇点的多项式补集的高阶同伦群结果进行推广。
• 将Milnor纤维的首个非平凡同调群与一般线性截面中零集补集的首个非平凡同伦群相联系。
• 在全局和局部情形下证明同伦群阶的整除定理。
• 在局部情形下，建立Milnor同调上单值作用与同伦群挠阶之间的精确联系。

提出的方法

• 分析 $\mathbb{C}^{n+1}$ 中超曲面 $V = f^{-1}(0)$ 的补集，重点关注同伦群 $\pi_i(\mathbb{C}^{n+1} \setminus V)$，特别是 $\pi_{n-k}$，其中 $k = \dim \operatorname{Sing}(V)$。
• 通过余维数为 $k$ 的线性截面 $H$ 将全局问题转化为局部问题，研究 $\pi_i(H \setminus H \cap V)$。
• 应用Zariski-Lefschetz定理和局部锥结构，将 $B_H \setminus B_H \cap V$ 的同伦型与 $S_H \setminus S_H \cap V$ 的同伦型相联系，其中 $B_H$ 为小球，$S_H$ 为其边界。
• 利用Milnor纤维化及 $f$ 在一般超平面上的限制，分析在奇点邻域中补集的拓扑。
• 使用映射 $\phi = (h,g): \mathbb{C}^{n+1} \to \mathbb{C}^2$ 和极曲线 $\Gamma(h,g)$ 构造同伦等价，并分析 $B_H \setminus B_H \cap V$ 中的胞射。
• 应用同伦正合列及 $\pi_1$-模的性质，证明 $\pi_{n-1}(S_H \setminus S_H \cap V)$ 是挠模，且 $\pi_{n-1}(B_H \setminus B_H \cap V) \otimes \mathbb{C}$ 是 ${\mathbb{C}}[\mathbb{Z}]$-挠模。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有非孤立奇点的超曲面补集的高阶同伦群如何与Milnor纤维的同调相关？
• RQ2 无穷远处的奇点在决定多项式纤维补集的同伦型中起什么作用？
• RQ3 补集的首个非平凡同伦群的阶能否与Milnor同调上的单值作用相联系？
• RQ4 非孤立奇点的位置和局部类型如何影响补集的拓扑？
• RQ5 在存在非孤立奇点的情况下，什么条件能保证一般纤维的首个非平凡同调群的消失或非消失？

主要发现

• 在一般线性截面 $H$ 中，小球边界 $S_H$ 的首个非平凡同伦群 $\pi_{n-1}(S_H \setminus S_H \cap V)$ 是一个挠 $\pi_1$-模。
• $\pi_{n-1}(B_H \setminus B_H \cap V) \otimes \mathbb{C}$ 是 ${\mathbb{C}}[\mathbb{Z}]$-挠模，且其阶整除 $\pi_{n-1}(S_H \setminus S_H \cap V)$ 的阶。
• $\pi_{n-1}(B_H \setminus B_H \cap V) \otimes \mathbb{C}$ 的阶整除乘积 $\prod_i \Delta_i$，其中 $\Delta_i$ 是与奇点集相关的某些不变量。
• 对于满足 $\dim \operatorname{Sing}(g) \leq 1$ 的芽 $g$，单值作用在 $H_{n-1}(M_g, \mathbb{C})$ 上的特征多项式等于 $\pi_{n-1}(B_H \setminus B_H \cap V)$ 的阶。
• 空间 $B_H \setminus B_H \cap V$ 同伦等价于 $\{|g| = \varepsilon\} \cap B_{H_t}$，其中在 $g$ 的奇点处附加了 $n$-胞射。
• 映射 $\phi = (h,g)$ 诱导了 $\{|g| = \varepsilon\} \cap B_{H_0}$ 与 $\{|g| = \varepsilon\} \cap B_{H_t}$ 之间的同伦等价，从而实现了补集同伦型的构造。