[论文解读] Homotopy homomorphisms and the classifying space functor

R. M. Vogt|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文证明，在将拓扑幺半群范畴关于底层映射的同伦等价进行局部化，以及将基于空间范畴关于所有同伦等价进行局部化后，分类空间函子 $B: \mathcal{M}on \to \mathcal{T}\!op^*$ 是 Moore 一圈空间函子 $\Omega'$ 的左伴随。关键结果是在良好基点的幺半群与良好基点的空间之间存在一个同伦意义上的伴随关系，该伴随关系可提升至系统，并表明 $B$ 沿自然同伦等价保持同伦上位极限。

ABSTRACT

We show that the classifying space functor $B: Mon o Top*$ from the category of topological monoids to the category of based spaces is left adjoint to the Moore loop space functor $Ω': Top* o Mon$ after we have localized $Mon$ with respect to all homomorphisms whose underlying maps are homotopy equivalences and $Top*$ with respect to all based maps which are (not necessarily based) homotopy equivalences. It is well-known that this localization of $Top*$ exists, and we show that the localization of $Mon$ is the category of monoids and homotopy classes of homotopy homomorphisms. To make this statement precise we have to modify the classical definition of a homotopy homomorphism, and we discuss the necessary changes. The adjunction is induced by an adjunction up to homotopy between the category of well-pointed monoids and homotopy homomorphisms and the category of well-pointed spaces. This adjunction is shown to lift to diagrams. As a consequence, the well-known derived adjunction between the homotopy colimit and the constant diagram functor can also be seen to be induced by an adjuction up to homotopy before taking homotopy classes. As applications we among other things deduce a more algebraic version of the group completion theorem and show that the classifying space functor preserves homotopy colimits up to natural homotopy equivalences.

研究动机与目标

• 在拓扑幺半群与基于空间的局部化范畴中，建立分类空间函子 $B$ 与 Moore 圈空间函子 $\Omega'$ 之间的同伦伴随。
• 通过将两个范畴关于同伦等价进行局部化，解决 $\Omega'$ 在经典设定下不保持乘积的问题。
• 表明拓扑幺半群范畴的局部化由幺半群与同伦类的同伦同态构成，需对同伦同态的定义进行修正以保证一致性。
• 证明同伦上位极限与常值系统函子之间的导出伴随关系源于在取同伦类之前存在的同伦意义下的伴随关系。
• 将结果应用于推导群完备化定理的代数版本，并证明 $B$ 沿自然同伦等价保持同伦上位极限。

提出的方法

• 通过将所有底层映射为同伦等价的同态在范畴 $\mathcal{M}on$ 中取逆，对拓扑幺半群范畴进行局部化。
• 通过将所有基于映射（不一定是基于的）同伦等价在范畴 $\mathcal{T}\!op^*$ 中取逆，对基于空间范畴进行局部化。
• 定义一种修正后的同伦同态概念，以确保 $\mathcal{M}on$ 的局部化由幺半群与这类映射的同伦类构成。
• 在良好基点的幺半群范畴 $\mathcal{H}\!\mathcal{M}on^w$ 与良好基点的空间范畴 $\mathcal{T}\!op^w$ 之间建立一个同伦意义下的伴随关系 $B: \mathcal{H}\!\mathcal{M}on^w \leftrightarrows \mathcal{T}\!op^w : \Omega'$。
• 将此伴随关系提升至系统，表明同伦上位极限与常值系统函子之间的导出伴随关系源于底层的同伦意义下的伴随关系。
• 利用同伦上位极限构造 $\mathop{\rm hocolim}\nolimits D = B(\ast, \mathcal{C}, \mathcal{C}) \otimes_\mathcal{C} QD$，证明 $B$ 沿自然同伦等价保持同伦上位极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对源范畴与目标范畴进行适当局部化后，分类空间函子 $B$ 是否可成为 Moore 圈空间函子 $\Omega'$ 的左伴随？
• RQ2 何种同伦同态的恰当定义可使 $\mathcal{M}on$ 的局部化由此类映射的同伦类构成？
• RQ3 函子 $B$ 与 $\Omega'$ 之间的伴随关系是否可提升至系统，从而诱导出同伦上位极限与常值系统函子之间的导出伴随关系？
• RQ4 能否利用此同伦伴随关系将群完备化定理重新表述为更代数化的形式？
• RQ5 分类空间函子是否沿自然同伦等价保持同伦上位极限？

主要发现

• 在将 $\mathcal{M}on$ 关于底层映射的同伦等价进行局部化，以及将 $\mathcal{T}\!op^*$ 关于所有同伦等价进行局部化后，分类空间函子 $B: \mathcal{M}on \to \mathcal{T}\!op^*$ 是 Moore 圈空间函子 $\Omega'$ 的左伴随。
• 对 $\mathcal{M}on$ 的局部化等价于幺半群与同伦类的同伦同态构成的范畴，但需对同伦同态的定义进行修正以保证一致性。
• 在良好基点的幺半群范畴与良好基点的空间范畴之间存在一个同伦意义下的伴随关系，且该伴随关系可提升至系统。
• 此提升意味着同伦上位极限与常值系统函子之间的导出伴随关系源于在取同伦类之前存在的底层同伦意义下的伴随关系。
• 分类空间函子保持同伦上位极限，沿自然同伦等价：自然映射 $\mathop{\rm hocolim}\nolimits^{{\mathcal{T}\!op}^*} BD \to B(\mathop{\rm hocolim}\nolimits^{\mathcal{M}on} D)$ 是一个同伦等价。
• 作为同伦伴随与 $B$ 保持同伦上位极限的推论，可推导出群完备化定理的代数版本。