[论文解读] Homotopy invariance of non-stable K_1-functors

Anastasia Stavrova|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文建立了域上重性代数群的非稳定 $K_1$-函子的同伦不变性，证明当 $G$ 的每个半单正规子群的各向同性秩 $\geq 2$ 时，有 $K_1^G(k) \cong K_1^G(k[X_1,\ldots,X_n])$ 对任意 $n \geq 1$ 成立。该结果将 Suslin 和 Abe 的经典定理从 $\mathrm{GL}_l$ 和辛群推广至各向同性重性群，并在域 $k$ 完美时，将同伦不变性扩展至正则 $k$-代数及分式域为 $K$ 的局部正则 $k$-代数。证明依赖于广义余式序列和初等子群的局部-整体原理。

ABSTRACT

Let G be reductive algebraic group over a field k, such that every semisimple normal subgroup of G has isotropic rank >=2. Let K_1^G be the non-stable K_1-functor associated to G (also called the Whitehead group of G in the field case). We show that K_1^G(k)=K_1^G(k[X_1,...,X_n]) for any n>= 1. This implies that K_1^G is A^1-homotopy invariant on the category of regular k-algebras, if k is perfect. If k is infinite perfect, one also deduces that K_1^G(R)-> K_1^G(K) is injective for any regular local k-algebra R with the fraction field K.

研究动机与目标

• 建立域 $k$ 上重性代数群 $G$ 的非稳定 $K_1^G$-函子的同伦不变性。
• 将 Suslin 和 Abe 关于 $K_1^G$-不变性的经典结果从 $\mathrm{GL}_l$ 和辛群推广至各向同性重性群。
• 证明当 $k$ 为无限完美域时，对任意分式域为 $K$ 的局部正则 $k$-代数 $R$，自然映射 $K_1^G(R) \to K_1^G(K)$ 是单射。
• 将 $K_1^G$ 的 $\mathbb{A}^1$-同伦不变性推广至各向同性重性群，为动机同伦理论中的未来应用提供支持。

提出的方法

• 证明在交换环上 $K_1^G$ 的广义余式序列，表明在各向同性条件下，序列 $1 \to K_1^G(A) \to K_1^G(A[X]) \times K_1^G(A[X^{-1}]) \to K_1^G(A[X,X^{-1}])$ 是正合的。
• 通过归纳法证明对所有 $n \geq 1$ 有 $K_1^G(k) \cong K_1^G(k[X_1,\ldots,X_n])$，其中 $n=1$ 的基础情形依赖于 Margaux–Soulé 定理。
• 应用 Suslin 的局部-整体原理将问题约化至局部环，并利用 Lindel 引理由构造合适的子环 $B$ 和元素 $h$ 满足 $Ah + B = A$。
• 利用 Popescu 定理将正则 $k$-代数的一般情形约化至本质上有限型的正则 $k$-代数情形。
• 通过证明任意映射到 $E(L(X))$ 的 $G(L)$ 中元素必属于 $E(L)$，来建立 $K_1^G(A) \to K_1^G(K)$ 的单射性，利用在某点 $a \in L$ 处分母多项式非零的求值操作。
• 利用 $G$ 及其幂零根在 $k$ 上是有限表示的性质，因此 $G(-)$ 和 $E(-)$ 与滤子直积可交换。

实验结果

研究问题

• RQ1 非稳定 $K_1^G$-函子是否对域 $k$ 上的各向同性重性群满足同伦不变性？
• RQ2 Suslin 和 Abe 关于 $K_1^G$-不变性的经典结果能否推广至其半单正规子群包含 $(\mathbf{G}_m)^2$ 的重性群？
• RQ3 当 $k$ 为完美且无限域时，对任意分式域为 $K$ 的局部正则 $k$-代数 $R$，自然映射 $K_1^G(R) \to K_1^G(K)$ 是否为单射？
• RQ4 是否对各向同性重性群，$K_1^G$ 的 $\mathbb{A}^1$-同伦不变性成立，从而推广 Morel 和 Wendt 的结果？

主要发现

• 非稳定 $K_1^G$-函子在多项式扩张下不变：当 $G$ 的每个半单正规子群的各向同性秩 $\geq 2$ 时，对所有 $n \geq 1$ 有 $K_1^G(k) \cong K_1^G(k[X_1,\ldots,X_n])$。
• 对任意完美域 $k$，所有正则 $k$-代数 $R$ 都有 $K_1^G(R) \cong K_1^G(R[X])$，从而将同伦不变性扩展至一大类环。
• 当 $k$ 为无限完美域时，对任意分式域为 $K$ 的局部正则 $k$-代数 $R$，自然映射 $K_1^G(R) \to K_1^G(K)$ 是单射。
• 当 $G$ 为单连通且各向同性时，更强的同构 $K_1^G(k) \cong K_1^G(k[X_1,\ldots,X_n,Y_1,Y_1^{-1},\ldots,Y_m,Y_m^{-1}])$ 对所有 $m,n \geq 1$ 成立。
• 对满足所有局部化处各向同性条件的 $A$ 上的重性群概形 $G$，余式序列 $1 \to K_1^G(A) \to K_1^G(A[X]) \times K_1^G(A[X^{-1}]) \to K_1^G(A[X,X^{-1}])$ 是正合的。
• $K_1^G(A) \to K_1^G(K)$ 的单射性源于存在一点 $a \in L$ 使得任意分母多项式 $f$ 满足 $f(a) \neq 0$，从而允许从 $L(X)$ 通过求值下移至 $L$。