[论文解读] Homotopy perturbation method for fractional-order Burgers-Poisson equation

Caibin Zeng, Qigui Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过将一阶时间导数替换为阶数 $\alpha \in (0,1]$ 的Caputo分数阶导数，提出了一种分数阶Burgers-Poisson方程。利用同伦摄动法（HPM），推导出精确解与近似显式解，该方法在求解非线性分数阶微分方程方面表现出高度有效且精确，尤其在 $\alpha = 1$ 时可恢复已知的精确解。

ABSTRACT

In this paper, the fractional-order Burgers-Poisson equation is introduced by replacing the first-order time derivative by fractional derivative of order $α$. Both exact and approximate explicit solutions are obtained by employing homotopy perturbation method. The numerical results reveal that the proposed method is very effective and simple for handling fractional-order differential equations.

研究动机与目标

• 将经典Burgers-Poisson方程推广为其分数阶形式，采用Caputo时间分数阶导数。
• 开发并应用同伦摄动法（HPM）求解所得分数阶系统。
• 为分数阶Burgers-Poisson方程推导精确解与近似显式解。
• 通过与精确解的数值比较，验证HPM的精度与效率。

提出的方法

• 通过将一阶时间导数替换为阶数 $\alpha \in (0,1]$ 的Caputo分数阶导数，构建分数阶Burgers-Poisson方程。
• 利用嵌入参数 $p \in [0,1]$ 构造同伦，将原方程变形为一系列更简单的子问题。
• 将解 $u(x,t)$ 展开为 $p$ 的幂级数形式：$u = u_0 + p u_1 + p^2 u_2 + \cdots$。
• 对摄动级数的每一阶应用分数阶积分算子 $J^\alpha$，并利用引理1递归求解 $u_j(x,t)$。
• 使用符号计算软件（Mathematica）计算 $j \geq 4$ 的高阶项 $u_j(x,t)$。
• 将级数的前四项组合，形成 $u(x,t)$ 的四阶近似显式解。

实验结果

研究问题

• RQ1 同伦摄动法能否有效求解具有非线性色散项的分数阶Burgers-Poisson方程？
• RQ2 当 $\alpha = 1$ 时，基于HPM的近似解与精确解相比有多精确？
• RQ3 解的行为如何随 $\alpha$ 变化而改变？该方法在 $\alpha \to 1$ 极限下是否保持已知的经典解？
• RQ4 HPM级数解在分数阶Burgers-Poisson方程中的收敛性与稳定性行为如何？

主要发现

• HPM为分数阶Burgers-Poisson方程提供了一个四阶近似显式解：$u(x,t) = x - \frac{1+x}{\Gamma(1+\alpha)}t^{\alpha} + \frac{2(1+x)}{\Gamma(2+\alpha)}t^{2\alpha} - \frac{(1+x)(4\Gamma(1+\alpha)^2 + \Gamma(2+\alpha))}{\Gamma(1+\alpha)^2\Gamma(3+\alpha)}t^{3\alpha}$。
• 当 $\alpha = 1$ 时，HPM恢复了精确解 $u(x,t) = \frac{1+x}{1+t} - 1$，证实与经典结果的一致性。
• 表1中的数值比较显示，近似解与精确解高度吻合，测试的 $x$ 与 $t$ 值下绝对误差范围为 0.002462 至 0.083333。
• 随着 $t$ 减小，误差降低，表明在较小时间区间内精度更高。
• 该方法在求解具有复杂非线性项（如 $3u_x u_{xx} + u u_{xxx}$）的分数阶微分方程时表现出高度有效与简便。
• 结果表明，HPM是求解分数阶非线性PDE的有力且可靠方法，尤其适用于具有完全非线性色散项的方程。