[论文解读] Homotopy properties of spaces of smooth functions on 2-torus

Sergiy Maksymenko, Bogdan Feshchenko|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文建立了充分条件，使得在2-环面上的光滑函数的轨道的基本群分解为 $\pi_1\mathcal{O}(f) \cong \mathbb{Z}^2 \times \pi_0\mathcal{S}'(f)$，其中 $\mathcal{S}'(f)$ 是微分同胚的恒同连通分支与稳定子群的交集。该结果适用于在临界点处局部芽微分同胚于无重因式齐次多项式的函数，推广了Morse函数的情形。

ABSTRACT

Let $f:T^2 o\mathbb{R}$ be a Morse function on a 2-torus, $\mathcal{S}(f)$ and $\mathcal{O}(f)$ be its stabilizer and orbit with respect to the right action of the group $\mathcal{D}(T^2)$ of diffeomorphisms of $T^2$, $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ be the identity path component of $\mathcal{D}(T^2)$, and $\mathcal{S}'(f) = \mathcal{S}(f) \cap \mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$. We give sufficient conditions under which $$ π_1\mathcal{O}_f(f) \ \cong \ π_1\mathcal{D}(T^2) imes π_0 \mathcal{S}'(f) \ \equiv \ \mathbb{Z}^2 imes π_0 \mathcal{S}'(f).$$ In fact this result holds for a larger class of smooth functions $f:T^2 o\mathbb{R}$ having the following property: for every critical point $z$ of $f$ the germ of $f$ at $z$ is smothly equivalent to a homogeneous polynomial $\mathbb{R}^2 o \mathbb{R}$ without multiple factors.

研究动机与目标

• 确定光滑函数 $f: T^2 \to \mathbb{R}$ 的轨道 $\mathcal{O}(f)$ 的基本群何时可分解为乘积形式 $\pi_1\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2) \times \pi_0\mathcal{S}'(f)$。
• 将已知的轨道空间同伦型结果从Morse函数推广至具有特定局部奇点类型的更广光滑函数类。
• 分析稳定子群 $\mathcal{S}(f)$ 对Kronrod-Reeb图 $\Gamma(f)$ 的作用，并利用该作用构造保持临界水平集的同伦。
• 证明在特定条件下，$\mathcal{S}'(f)$ 中的环路在 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 中是零伦的，从而实现轨道基本群的分解。

提出的方法

• 在微分同胚群 $\mathcal{D}(T^2)$ 上使用强Whitney $C^\infty$拓扑，并在轨道与稳定子群上诱导相应拓扑。
• 应用映射 $p: \mathcal{D}(T^2) \to \mathcal{O}(f)$，定义为 $p(h) = f \circ h$，对 $\mathcal{F}(T^2, \mathbb{R})$ 中的函数是Serre纤维丛的事实。
• 利用纤维丛关联的同伦群正合列，通过 $\pi_1\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 和 $\pi_0\mathcal{S}'(f)$ 分析 $\pi_1\mathcal{O}_f(f)$。
• 利用 $\mathcal{S}(f)$ 对Kronrod-Reeb图 $\Gamma(f)$ 的作用，研究微分同胚在临界分量附近的局部行为。
• 构造 $\mathcal{S}'(f)$ 中的显式同伦 $g_t$，使其固定临界水平集的邻域并保持图结构，利用 [8, 定理7.1] 与 [8,引理6.4, 4.14] 的结果。
• 利用 $T^2$ 与 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 之间的同伦等价，将微分同胚群中环路的零伦性与2-环面中的零伦性关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，光滑函数 $f: T^2 \to \mathbb{R}$ 的轨道 $\mathcal{O}(f)$ 的基本群可分解为 $\mathbb{Z}^2 \times \pi_0\mathcal{S}'(f)$？
• RQ2 稳定子群 $\mathcal{S}(f)$ 对Kronrod-Reeb图 $\Gamma(f)$ 的作用如何影响轨道 $\mathcal{O}(f)$ 的同伦型？
• RQ3 在何种情况下，$\mathcal{S}'(f)$ 中的环路在 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 中是零伦的，从而实现 $\pi_1\mathcal{O}_f(f)$ 的分解？
• RQ4 函数在临界点处的局部芽结构——特别是其是否微分同胚于无重因式的齐次多项式——在决定轨道同伦型中起何种作用？

主要发现

• 若 $f$ 是2-环面上的光滑函数，且其在每个临界点处的局部芽微分同胚于无重因式的齐次多项式，则轨道 $\mathcal{O}_f(f)$ 的基本群满足 $\pi_1\mathcal{O}_f(f) \cong \mathbb{Z}^2 \times \pi_0\mathcal{S}'(f)$。
• 对于此类函数，稳定子群 $\mathcal{S}_{\mathrm{id}}(f)$ 是可缩的，从而可利用纤维丛 $p: \mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2) \to \mathcal{O}_f(f)$ 的同伦群长正合列。
• 对任意 $h \in \mathcal{S}'(f)$，若其在 $\Gamma(f)$ 的某顶点星形上作用平凡，则存在同伦 $g_t$ 在 $\mathcal{S}'(f)$ 中，使得 $g_0 = h$，$g_1$ 固定对应临界分量的邻域，且对所有 $t$ 有 $\rho(g_t) = \mathrm{id}$。
• 若两条路径 $\{h_t\}$ 与 $\{h_t'\}$ 在 $\mathcal{S}'(f)$ 中满足相同的端点条件，且均保持环面上某条固定的简单闭曲线 $C$，则它们在端点相对同伦。
• 若关联的环路 $\omega_q$ 在 $T^2$ 中是零伦的，则 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 中的环路 $\omega = \alpha \beta^{-1}$ 是零伦的，这是由于 $T^2$ 与 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 之间存在同伦等价。
• 由 $s(h) = [\{f \circ h_t\}]$ 定义的映射 $s: \mathcal{S}'(f) \to \pi_1\mathcal{O}_f(f)$ 是同态，满足 $s(h \circ h') = s(h) \circ s(h')$，从而确认了轨道基本群的群结构。