[论文解读] Homotopy Theoretic Classification of Symmetry Protected Phases

Jonathan A. Campbell|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文通过从cobordism理论导出的谱（spectra）对对称保护拓扑相（SPTs）进行了同伦理论分类，特别计算了新型cobordism谱如 $MT\text{Pin}^-$、$MT\text{Pin}^+$ 以及 $M(\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n)$ 的低维同伦群。该工作通过代数拓扑验证了物理上的分类结果，为SPT分类提供了与物理计算一致的严格数学框架，从而验证了凝聚 matter 物理中的cobordism假设。

ABSTRACT

We classify a number of symmetry protected phases using Freed-Hopkins' homotopy theoretic classification. Along the way we compute the low-dimensional homotopy groups of a number of novel cobordism spectra.

研究动机与目标

• 通过同伦理论提供对对称保护拓扑相（SPTs）的数学严格分类。
• 计算与各种对称群相关的新型cobordism谱的低维同伦群。
• 验证通过cobordism假设的同伦理论分类与已知的SPTs物理分类一致。
• 将Freed-Hopkins框架扩展至包含费米子系统与时间反演对称系统，特别是 $\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n$-结构。
• 探讨cobordism类的流形代表在物理上的相关性，目前大多数情况下仍未知。

提出的方法

• 利用cobordism假设将可逆的拓扑量子场论（TQFTs）建模为从 $MTG(n)$ 到 $\Sigma^{n+1}I_{\mathbb{Z}}$ 的谱映射，其中 $I_{\mathbb{Z}}$ 是球谱的Anderson对偶。
• 应用Adams谱序列计算如 $MT\text{Pin}^\pm$、$MT\text{Pin}^{\tilde{c}\pm}$ 以及 $M(\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n)$ 等cobordism谱的同伦群。
• 利用Thom同构与模2上同调上的 $\mathcal{A}(1)$-模结构分析谱序列的 $E_2$-页。
• 利用May-Milgram定理识别Adams谱序列中的微分，特别是将 $d_n$ 识别为 $2^n$-Bockstein。
• 通过从分类空间的拉回构造Thom谱，例如 $M(\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n) \simeq M\text{Spin} \wedge (B\mathbb{Z}/2^{n-1})^{2\xi}$。
• 通过与已知物理分类比较验证结果，显示完全一致，且不依赖于物理模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用稳定同伦理论与cobordism谱对对称保护拓扑相进行分类？
• RQ2 $MT\text{Pin}^-$、$MT\text{Pin}^+$ 及相关谱在物理对称群下的低维同伦群是什么？
• RQ3 通过同伦理论对可逆TQFT的分类在多大程度上重现了已知的SPTs物理分类？
• RQ4 Adams谱序列能否有效应用于计算由群扩张如 $\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n$ 所产生的奇异cobordism谱的同伦群？
• RQ5 为何同伦理论方法的结果与物理晶格模型计算的结果完全一致，尽管方法不同？

主要发现

• 谱 $MT\text{Pin}^-$ 的同伦群为 $\pi_0 = \mathbb{Z}/2$，$\pi_1 = 0$，$\pi_2 = \mathbb{Z}/2$，$\pi_3 = \mathbb{Z}/16$，$\pi_4 = 0$，$\pi_5 = 0$，与已知物理结果一致。
• 对于 $MT\text{Pin}^+$，同伦群为 $\pi_0 = \mathbb{Z}/2$，$\pi_1 = \mathbb{Z}/2$，$\pi_2 = \mathbb{Z}/8$，$\pi_3 = 0$，$\pi_4 = 0$，$\pi_5 = 0$，确认了物理分类。
• 谱 $M(\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n)$ 的同伦群为 $\pi_0 = \mathbb{Z}$，$\pi_1 = \mathbb{Z}/2^n$，$\pi_2 = 0$，$\pi_3 = \mathbb{Z}/2^{n-2}$，$\pi_4 = \mathbb{Z}$，$\pi_5 = \mathbb{Z}/16$（当 $n \geq 3$ 时），通过Adams谱序列显式计算得出。
• 在 $d+1$ 维中具有 $U(1)$ 对称性的玻色子SPTs的分类由 $[MSO \wedge \mathbb{C}P^\infty_+, \Sigma^{n+1}I_{\mathbb{Z}}]$ 给出，结果为 $\pi_0 = \mathbb{Z}$，$\pi_1 = 0$，$\pi_2 = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$，$\pi_3 = 0$，$\pi_4 = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2$。
• 对于具有时间反演对称性的系统，通过 $[MO, \Sigma^{n+1}I_{\mathbb{Z}}]$ 的分类给出 $\pi_0 = 0$，$\pi_1 = \mathbb{Z}/2$，$\pi_2 = 0$，$\pi_3 = (\mathbb{Z}/2)^2$，$\pi_4 = \mathbb{Z}/2$，与物理预期一致。
• 在 $3+1$ 维中具有 $\mathbb{Z}/2$ 对称性的费米子系统分类为平凡，因为 $[M\text{Spin} \wedge B\mathbb{Z}/2_+, \Sigma^5 I_{\mathbb{Z}}] = 0$，意味着不存在非平凡的SPT相。