[论文解读] Homotopy theory for algebras over polynomial monads

Michael Batanin, Clemens Berger|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 51被引用 61

一句话总结

本文建立了一套通用框架，用于在张量模型范畴中构造多项式单子代数上的转移模型结构，证明当单子为驯服多项式时，其存在性及相对左本性。关键贡献在于提出一个组合准则——基于单子的分量范畴是具有终对象的范畴的余积——该准则确保了操作代数、幺半群及相关结构所必需的同伦性质。

ABSTRACT

We study the existence and left properness of transferred model structures for "monoid-like" objects in monoidal model categories. These include genuine monoids, but also all kinds of operads as for instance symmetric, cyclic, modular, higher operads, properads and PROP's. All these structures can be realised as algebras over polynomial monads. We give a general condition for a polynomial monad which ensures the existence and (relative) left properness of a transferred model structure for its algebras. This condition is of a combinatorial nature and singles out a special class of polynomial monads which we call tame polynomial. Many important monads are shown to be tame polynomial.

研究动机与目标

• 解决n-操作代数与高阶范畴结构在稳定化假说中的基础同伦问题。
• 应对在操作代数及相关代数结构的转移模型结构中验证左本性的困难。
• 将斯科德-希普利的可滤化替换技术推广至单子代数，超越幺半群的范畴。
• 识别出一个组合性质——驯服性——以确保转移模型结构的存在性与左本性。
• 统一并扩展关于对称、非对称、循环、模态及高阶操作代数模型结构的现有结果。

提出的方法

• 引入h-张量模型范畴的概念，其中与（平凡）协纤维化张量化后产生（平凡）h-协纤维化。
• 通过有限集与映射的数据定义多项式单子，并通过其关联范畴上的组合条件引入驯服多项式单子的概念。
• 为驯服多项式单子T-代数的半自由余积构造一个函子性‘多项式展开’。
• 利用此类展开的存在性，建立转移模型结构中的单子公理与相对左本性。
• 应用2-单子理论中的2-范畴技术，分析自由代数扩张及其同伦行为。
• 建立范畴图、约翰逊-姚图与乔yal-斯特雷特拓扑图之间的双射，为单子的组合结构提供几何解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多项式单子代数上的转移模型结构存在？
• RQ2 何时此类转移模型结构是相对左本性的？
• RQ3 多项式单子的何种组合性质可确保其代数的良好同伦行为？
• RQ4 如何将斯科德-希普利风格的可滤化替换技术推广至操作代数与更高阶结构？
• RQ5 h-协纤维化与h-张量模型范畴在转移过程中保持左本性方面起何作用？

主要发现

• 若其关联的分量范畴是具有终对象的范畴的余积，则多项式单子为驯服的。
• 对任意驯服多项式单子T，T-代数上的转移模型结构存在且为相对左本性。
• 半自由余积T-代数存在函子性多项式展开，当且仅当T是驯服的。
• 该构造恢复并推广了缪罗关于自由非对称操作代数扩张的结果。
• h-张量条件确保单子公理成立，并蕴含转移模型结构的相对左本性。
• 范畴图的几何实现与带有边界的乔yal-斯特雷特图之间存在双射，验证了本文所用范畴图模型的合理性。