[论文解读] Homotopy theory of bundles with fiber matrix algebra

А. В. Ершов|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文为纤维为矩阵代数 $M_k(\mathbb{C})$ 的局部平凡丛构建了稳定的同伦理论，该丛配备了一个嵌入到平凡丛 $M_{kl}(\mathbb{C})$ 的结构，其中 $k,l$ 互素。它构造了一个同伦函子 $\widetilde{\rm AB}^1$ 来分类此类丛，并证明其同构于约化 $\rm KSU$-理论的乘法群，从而通过矩阵代数丛的张量积，为 $\rm BSU$ 上的 $H$-空间结构 $\rm BSU_\otimes$ 提供了几何实现。

ABSTRACT

In the present paper we consider a special class of locally trivial bundles with fiber a matrix algebra. On the set of such bundles over a finite $CW$-complex we define a relevant equivalence relation. The obtained stable theory gives us a geometric description of the H-space structure $\BSU_\otimes$ on $\BSU$ related to the tensor product of virtual $\SU$-bundles of virtual dimension 1.

研究动机与目标

• 为纤维为 $M_k(\mathbb{C})$ 且指定嵌入到 $M_{kl}(\mathbb{C})$ 的局部平凡丛发展稳定的同伦理论，其中 $k,l$ 互素。
• 在这些丛上定义一个稳定等价关系，类似于 $K$-理论中的稳定等价，以构造作为矩阵格拉斯曼流形 $\rm Gr_{k,l}$ 直接极限的分类空间。
• 通过这些丛建立 $\rm BSU$ 上 $H$-空间结构 $\rm BSU_\otimes$ 的几何描述。
• 证明所得的同伦函子 $\widetilde{\rm AB}^1$ 同构于约化 $\rm KSU$-函子的乘法群。
• 将构造推广到 $\rm GL$-版本，将 $\widehat{\rm Gr}$ 与 $\rm BU_\otimes$ 及 $\widetilde{\rm K}_{\mathbb{C}}$-理论的乘法群联系起来。

提出的方法

• 引入有限 $CW$-复形 $X$ 上纤维为 $M_k(\mathbb{C})$ 且配备到大小为 $kl$ 的平凡丛 $\widetilde{M}_{kl}$ 的丛的范畴 $\mathfrak{FAB}(X)$，并赋予丛映射 $\mu: A_k \to \widetilde{M}_{kl}$。
• 将分类空间 $\rm Gr_{k,l}$ 定义为参数化 $M_{kl}(\mathbb{C})$ 中同构于 $M_k(\mathbb{C})$ 的子代数的齐性空间，其中 $k,l$ 互素。
• 通过直极限 $\lim_{\to\atop{(k,l)=1}} \rm Gr_{k,l}$ 构造稳定化过程，得到此类丛的稳定等价类的分类空间。
• 在 $\mathfrak{FAB}(X)$ 上引入一个稳定等价关系，类似于 $K$-理论中的稳定等价，并将函子 $\widetilde{\rm AB}^1(X)$ 定义为稳定等价类的集合。
• 利用 $\rm GL$-版本中的陈类计算来分析同伦群，证明 $\widehat{\lambda}_{k,\ell*}$ 在 $\pi_{2r}$ 上诱导乘法 $k$，从而实现对 $k$ 的局部化。
• 建立同构 $\widehat{\rm Gr} \cong \rm Gr \times \mathbb{C}P^\infty$ 和 $\widehat{\rm Gr} \cong \rm BU_\otimes$ 作为 $H$-空间，将构造与乘法 $K$-理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为纤维为 $M_k(\mathbb{C})$ 且指定嵌入到 $M_{kl}(\mathbb{C})$ 的矩阵代数丛（$k,l$ 互素）构建稳定的同伦理论？
• RQ2 此类丛的稳定等价类的分类空间是什么？它与 $\rm Gr_{k,l}$ 的直极限有何关系？
• RQ3 能否通过这些矩阵代数丛的张量积几何实现 $\rm BSU$ 上的 $H$-空间结构 $\rm BSU_\otimes$？
• RQ4 $\widetilde{\rm AB}^1$ 同伦函子是否等价于约化 $\rm KSU$-函子的乘法群？
• RQ5 $\rm GL$-版本的构造与 $\widetilde{\rm K}_{\mathbb{C}}$-理论的乘法群之间有何关系？

主要发现

• 纤维为 $M_k(\mathbb{C})$ 且嵌入到 $M_{kl}(\mathbb{C})$ 的丛（$k,l$ 互素）的稳定等价类由直极限 $\lim_{\to\atop{(k,l)=1}} \rm Gr_{k,l}$ 分类，该极限作为 $\widetilde{\rm AB}^1$ 的分类空间。
• $\widetilde{\rm AB}^1$ 同伦函子同构于约化 $\rm KSU$-函子的乘法群，群运算为 $\xi * \eta = \xi + \eta + \xi\eta$。
• $\rm BSU$ 上的 $H$-空间结构 $\rm BSU_\otimes$ 通过此类矩阵代数丛的张量积得到几何实现，提供了具体的丛论模型。
• $\rm GL$-版本的构造产生一个空间 $\widehat{\rm Gr} = \lim_{\to\atop{(k,l)=1}} \widehat{\rm Gr}_{k,l}$，其作为 $H$-空间同构于 $\rm BU_\otimes$，并表示 $\widetilde{\rm K}_{\mathbb{C}}$-理论的乘法群。
• $\pi_{2r}$ 上的映射 $\widehat{\lambda}_{k,\ell*}$ 是乘法 $k$，表明 $\widehat{\rm Gr}$ 是 $\mathbb{Z}[1/k]$-局部化的，且 $\widehat{\rm Gr} \cong \rm Gr \times \mathbb{C}P^\infty$ 作为 $H$-空间。
• 通过涉及 $\widetilde{c}_i$ 的递推公式计算逆丛的陈类，例如 $\widetilde{c}_1(A_k)^{-1} = 1 - \widetilde{c}_1(A_k) + \widetilde{c}_2(A_k) - \cdots$，更高阶类也以类似方式导出。