[论文解读] Homotopy theory of homotopy algebras

Bruno Vallette|Nov 20, 2014

Advanced Topics in Algebra被引用 9

一句话总结

本文在连幂零dg ${\mathcal{P}}^{!}$-余代数上建立了新的模型范畴结构——该结构与dg ${\mathcal{P}}$-代数范畴Quillen等价，其中所有对象均为上纤维对象，而纤维对象恰好是拟自由对象。通过操作子微积分与弱等价关系的精细化定义，该研究为 ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数提供了通过无穷态射的同伦理论，实现了对同伦范畴的完整、函子性描述，并在同伦代数上赋予了无穷范畴结构。

ABSTRACT

This paper studies the homotopy theory of algebras and homotopy algebras over an operad. It provides an exhaustive description of their higher homotopical properties using the more general notion of morphisms called infinity-morphisms. The method consists in using the operadic calculus to endow the category of coalgebras over the Koszul dual cooperad or the bar construction with a new type of model category structure, Quillen equivalent to that of algebras. We provide an explicit homotopy equivalence for infinity-morphisms, which gives a simple description of the homotopy category, and we endow the category of homotopy algebras with an infinity-category structure.

研究动机与目标

• 为不依赖连通性假设的操集代数建立同伦理论。
• 通过在余代数上引入新的弱等价类，解决经典意义下cobar函子不保持拟同构的问题。
• 通过无穷态射，为 ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数的同伦范畴提供函子性且明确的描述。
• 通过在Koszul对偶余操集或bar构造上引入新模型范畴，为同伦代数范畴赋予良好行为的无穷范畴结构。
• 将Joyal–Lurie的$(\infty,1)$-范畴框架推广至操作子设定，以 ${\mathcal{P}}^{!}$-余代数替代单纯集。

提出的方法

• 在连幂零dg ${\mathcal{P}}^{!}$-余代数范畴上构造新的模型范畴结构，其中弱等价关系严格包含于拟同构类中。
• 利用[LV12, 第10–11章]中的操作子微积分，定义并分析操作子的bar构造与Koszul对偶性。
• 将无穷态射定义为新模型范畴中的态射，其为 ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数之间态射的同伦相干版本。
• 在bar构造与余代数乘积上引入过滤结构，以分析谱序列，并证明关键映射（如 $\mathrm{id} \times \mathrm{gr}(\upsilon_{\kappa}D)$）为拟同构。
• 通过比较诱导过滤的谱序列，证明 $\mathrm{B}_{\kappa}K \times D$ 上的恒等映射为过滤拟同构。
• 利用谱序列的收敛性与过滤的有界性，得出映射 $\mathrm{id} \times \upsilon_{\kappa}D$ 是新模型结构中的弱等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义一个不依赖连通性假设的操作子 ${\mathcal{P}}$-代数的同伦理论？
• RQ2 在 ${\mathcal{P}}^{!}$-余代数上，应采用何种正确的弱等价类，使得cobar函子能与dg ${\mathcal{P}}$-代数范畴形成Quillen等价？
• RQ3 是否可以为 ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数之间的无穷态射提供函子性且明确的同伦描述？
• RQ4 新模型范畴在 ${\mathcal{P}}^{!}$-余代数上的结构与Joyal–Lurie的$(\infty,1)$-范畴理论有何关联？
• RQ5 ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数的同伦范畴的结构是什么？如何通过纤维-上纤维对象的子范畴来描述？

主要发现

• 连幂零dg ${\mathcal{P}}^{!}$-余代数范畴具有与dg ${\mathcal{P}}$-代数范畴Quillen等价的模型范畴结构，其中所有对象均为上纤维对象，而纤维对象恰好是拟自由对象。
• 在 ${\mathcal{P}}^{!}$-余代数上，新弱等价关系严格包含于拟同构类中，确保cobar函子保持弱等价，并诱导出Quillen等价。
• ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数之间的无穷态射被实现为新模型范畴中的态射，提供了普遍且函子性的同伦关系。
• 对 $\mathrm{B}_{\kappa}K \times D$ 与 $\mathrm{B}_{\kappa}K \times \mathrm{B}_{\kappa}\Omega_{\kappa}D$ 上过滤结构的谱序列分析表明，$\mathrm{id} \times \upsilon_{\kappa}D$ 为过滤拟同构，因此是新模型结构中的弱等价。
• ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数的同伦范畴与新模型范畴中纤维-上纤维对象的全子范畴等价，从而实现了完整且明确的描述。
• 同伦代数范畴通过新模型范畴在 ${\mathcal{P}}^{!}$-余代数上的结构，自然地赋予了无穷范畴结构，其中纤维对象对应于 ${\mathcal{P}}_{\infty}$-代数，而态射对应于无穷态射。