[论文解读] Homotopy Theory of Probability Spaces I: Classical independence and homotopy Lie algebras

Jae-Suk Park|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文引入了同伦概率空间作为经典代数概率空间的同伦推广，利用 $sL_{\nu}$-代数与无穷同构，将概率律重新解释为同伦类型的不变量。主要贡献在于通过仿射联络在形式模空间上编码矩生成函数的正式微分系统，保留了经典中心极限定理的同时，为概率论提供了新的计算工具。

ABSTRACT

This is the first installment of a series of papers whose aim is to lay a foundation for homotopy probability theory by establishing its basic principles and practices. The notion of a homotopy probability space is an enrichment of the notion of an algebraic probability space with ideas from algebraic homotopy theory. This enrichment uses a characterization of the laws of random variables in a probability space in terms of symmetries of the expectation. The laws of random variables are reinterpreted as invariants of the homotopy types of infinity morphisms between certain homotopy algebras. The relevant category of homotopy algebras is determined by the appropriate notion of independence for the underlying probability theory. This theory will be both a natural generalization and an effective computational tool for the study of classical algebraic probability spaces, while keeping the same central limit. This article is focused on the commutative case, where the laws of random variables are also described in terms of certain affinely flat structures on the formal moduli space of a naturally defined family attached to the given algebraic probability space. Non-commutative probability theories will be the main subject of the sequels. (This work is a spin-off from the author's program to characterize path integrals of quantum field theory in terms of the symmetries of the quantum expectation which should satisfy a certain coherence with a particular weight filtration generated by the Planck constant $\hbar$. A similar idea is adopted here in a simplified form, without the $\hbar$-conditions, and, in return, many results in this paper will be used as background materials in the forthcoming work on homotopy theory of quantum fields).

研究动机与目标

• 通过将代数同伦理论融入经典代数概率空间，建立同伦概率理论的基础框架。
• 将随机变量的律重新解释为 $sL_{\nu}$-代数之间无穷同构的同伦类型的不变量。
• 在将经典概率推广至同伦设定的同时，保留经典中心极限定理。
• 在同伦概率代数的模空间上建立形式几何结构——仿射平坦联络。
• 为后续论文中非交换同伦概率理论奠定基础。

提出的方法

• 使用单位元 $sL_{\nu}$-代数作为建模随机变量及其相关性的同伦代数框架。
• 通过 $sL_{\nu}$-同态定义同伦概率空间，并从这些同态的同伦类型推导相关函数。
• 引入形式幂级数 $A^{\bullet}_{\beta\beta}{}^{\rho}$，表示编码乘法与高阶相关性的 $(2,1)$-张量。
• 将矩生成函数 $Z_{{\bm{\nabla}}^{\bullet}}$ 构造为涉及 $1$-张量 $T_{\bullet}^{\rho}$ 的形式微分方程组的解。
• 应用Maurer–Cartan理论与形式几何，将同伦概率代数的模空间描述为仿射平坦的超流形。
• 推导出微分方程组：$(\partial_{\alpha}\partial_{\beta} - \sum_{\gamma} A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma} \partial_{\gamma})Z = 0$ 与 $(\partial_0 - 1)Z = 0$，用于控制矩生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典概率律如何能被重新解释为代数拓扑中无穷同构的同伦类型的不变量？
• RQ2 $sL_{\infty}$-代数在同伦设定下编码随机变量的累积量与矩结构的作用是什么？
• RQ3 同伦概率代数模空间上的仿射平坦结构如何反映相关函数的几何性质？
• RQ4 该同伦推广的概率空间是否能保持中心极限定理？
• RQ5 有限维超选择扇区中同伦随机变量空间的精确代数与几何时结构是什么？

主要发现

• 有限维超选择扇区的矩生成函数 $Z_{{\bm{\nabla}}^{\bullet}}$ 完全由 $1$-张量 $\{T_{\bullet}^{\gamma}\}$ 与期望值 $\{\iota^{{\bm{\nabla}}_{\bullet}}(e_{\gamma})\}$ 决定，其中 $\iota^{{\bm{\nabla}}_{\bullet}}(e_0) = 1$。
• 微分方程组 $(\partial_{\alpha}\partial_{\beta} - \sum_{\gamma} A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma} \partial_{\gamma})Z = 0$ 与 $(\partial_0 - 1)Z = 0$ 控制矩生成函数，通过 $A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma}$ 张量编码所有联合矩。
• $A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma}$ 张量满足分次对称性条件：$A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma} = (-1)^{|e_{\alpha}||e_{\beta}|} A^{\bullet}_{\beta\alpha}{}^{\gamma}$，反映分次交换性。
• $A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma}$ 张量满足广义雅可比型恒等式：$\partial_{\alpha}A^{\bullet}_{\beta\gamma}{}^{\sigma} - (-1)^{|e_{\alpha}||e_{\beta}|}\partial_{\beta}A^{\bullet}_{\alpha\gamma}{}^{\sigma} + \sum_{\rho} (A^{\bullet}_{\beta\gamma}{}^{\rho}A^{\bullet}_{\alpha\rho}{}^{\sigma} - (-1)^{|e_{\alpha}||e_{\beta}|} A^{\bullet}_{\alpha\gamma}{}^{\rho}A^{\bullet}_{\beta\rho}{}^{\sigma}) = 0$，确保形式联络的一致性。
• 有限维完备空间中同伦随机变量的空间具有形式几何结构，由 $\Bbbk[\![t_{\mathcal{S}^\diamond}]\!]$ 上的平坦仿射联络描述，其曲率为恒等零。
• 空间 $\mathcal{S}^\diamond$ 上的同伦概率空间结构由从导出 $sL_{\infty}$-代数 $\mathcal{S}^\diamond_{\color[rgb]{0,0,1}L}$ 到目标 $\mathcal{C}_{{\color[rgb]{0,0,1}L_{\infty}}}$ 的单位元 $sL_{\infty}$-同态 $\underline{\varphi}^{\mathcal{S}^\diamond}$ 所诱导，期望为 $\iota^{{\bm{\mathcal{S}}}^\diamond} = \mathfrak{c} \circ \varphi_1^{\mathcal{S}^\diamond}$。