[论文解读] Homotopy theory of small diagrams over large categories

Boris Chorny, W. G. Dwyer|ArXiv.org|Jul 5, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 7

一句话总结

该论文在从大范畴 $Δ$ 到单纯集的范畴上建立了 Quillen 模型结构，通过小函子克服了集合论上的问题。它构造了具有更强普遍性质的同伦局部化函子，从而实现了单纯集中 $A$-Postnikov 层的完全函子化构造。

ABSTRACT

Let $D$ be a large category which is cocomplete. We construct a model structure (in the sense of Quillen) on the category of small functors from $D$ to simplicial sets. As an application we construct homotopy localization functors on the category of simplicial sets which satisfy a stronger universal property than the customary homotopy localization functors do.

研究动机与目标

• 为从大范畴到单纯集的函子发展同伦理论，这些函子由于大小问题而原本不是集合。
• 通过限制到小函子（其构成一个行为良好的范畴）来解决自然变换构成真类的基底问题。
• 当 $\mathcal{D}$ 是 cocomplete 时，在小函子范畴 $\mathcal{S}^{\mathcal{D}}_{\text{sm}}$ 上构造模型范畴结构。
• 将此结构应用于构造具有超越标准形式的更强普遍性质的同伦局部化函子。
• 利用这些局部化函子，为任意空间 $A$ 构造一个完全函子化的 $A$-Postnikov 层，推广经典 Moore 构造。

提出的方法

• 将小函子定义为表示函子的加权小合并，以确保即使指标范畴很大，其仍构成一个范畴。
• 使用广义的小对象方法在 $\mathcal{S}^{\mathcal{D}}_{\text{sm}}$ 上构造模型结构，其中弱等价和纤维化通过相对于一组生成映射的提升性质来定义。
• 使用广义的小对象技术将恒等函子 $\mathrm{Id} \to *$ 因子分解为函子 $\widetilde{K}$，该函子成为局部化函子 $L_f$。
• 通过构造保证 $\widetilde{K}$ 是 $f$-局部的且同伦幂等的，且对所有 $C$ 有 $\widetilde{K}(C)$ 是纤维化且 $f$-局部的。
• 利用 $L_f$ 的函子普遍性质，为每个零化函子 $P_{\Sigma^n A}$ 定义自然变换 $\zeta_n: L_{f_n} \to L_{f_{n-1}}$，从而形成一个函子塔。
• 将该构造应用于 $A = S^0$，以恢复经典 Postnikov 层的一个新函子化版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在从大范畴 $\mathcal{D}$ 到单纯集的小函子范畴上定义模型范畴结构，尽管存在大小问题？
• RQ2 能否构造具有强于标准形式的普遍性质的同伦局部化函子，以确保整个局部化过程的函子性？
• RQ3 能否构造一个在输入空间 $X$ 上完全函子化的 Postnikov 层，而不仅仅是作为塔的函子化？
• RQ4 范畴 $\mathcal{S}^{\mathcal{S}}_{\text{sm}}$ 上的模型结构与现有的结构（如等变模型结构或 pro-空间）有何关系？
• RQ5 能否将局部化函子的增强函子性推广到稳定范畴（如谱）上，以获得分裂色谱分解？

主要发现

• 为任意 cocomplete 的单纯范畴 $\mathcal{D}$ 在小函子范畴 $\mathcal{S}^{\mathcal{D}}_{\text{sm}}$ 上构造了 Quillen 模型结构，解决了基础大小问题。
• 当 $\mathcal{D}$ 是小范畴时，该模型结构退化为标准的投影模型结构，尽管一般情况下缺乏函子化分解。
• 通过小对象方法构造的局部化函子 $L_f$ 是 $f$-局部的、同伦幂等的，并且满足强于标准局部化的普遍性质。
• 对每个 $n \geq 0$，零化函子 $P_{\Sigma^n A} = L_{f_n}$，其中 $f_n: \Sigma^n A \to *$，被构造为一个函子 $\mathcal{S} \to \mathcal{S}$，并具有所需的普遍性质。
• 对每个 $n > 0$，存在自然变换 $\zeta_n: P_{\Sigma^n A} \to P_{\Sigma^{n-1} A}$，从而允许构造一个完全函子化的 $A$-Postnikov 层。
• 当 $A = S^0$ 时，所得的塔是经典 Postnikov 层的一个新函子化构造，推广了 Moore 的非系统性方法。