[论文解读] Homotopy weighted colimits

Lukáš Vokřínek|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2012

Drug Transport and Resistance Mechanisms参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文引入并表征了丰富模型范畴中的同伦加权余极限，表明当图是逐点上纤维化且权在 $[C^{op}, V]$ 上的射影模型结构中是上纤维化时，这些余极限可分解为同伦张量积与普通同伦余极限。关键贡献是将经典共端公式 $W \star C D \simeq \int^C (W \otimes D)$ 推广到同伦理论设定中，应用表明，单纯丰富不增加新的表达能力，而 dg-范畴则会增加。

ABSTRACT

Let V be a cofibrantly generated closed symmetric monoidal model category and M a model V-category. We say that a weighted colimit W*D of a diagram D weighted by W is a homotopy weighted colimit if the diagram D is pointwise cofibrant and the weight W is cofibrant in the projective model structure on [C^op,V]. We then proceed to describe such homotopy weighted colimits through homotopy tensors and ordinary (conical) homotopy colimits. This is a homotopy version of the well known isomorphism W*D=\int^C(W ensor D). After proving this homotopy decomposition in general we study in some detail a few special cases. For simplicial sets tensors may be replaced up to weak equivalence by conical homotopy colimits and thus the weighted homotopy colimits have no added value. The situation is completely different for model dg-categories where the desuspension cannot be constructed from conical homotopy colimits. In the last section we characterize those V-functors inducing a Quillen equivalence on the enriched presheaf categories.

研究动机与目标

• 在丰富模型范畴中定义并表征同伦加权余极限。
• 将经典共端公式 $W \star C D \cong \int^C (W \otimes D)$ 推广到同伦理论设定。
• 比较不同丰富结构（如单纯集、单纯阿贝尔群、范畴）下同伦加权余极限与普通同伦余极限的表达能力。

提出的方法

• 将同伦加权余极限定义为：当图是逐点上纤维化且权在 $[C^{op}, V]$ 上的射影模型结构中是上纤维化时的加权余极限。
• 通过将 Bousfield-Kan 公式推广到任意单边模型范畴 $V$，利用同伦张量积与普通同伦余极限来表达同伦加权余极限。
• 在余单纯对象上应用 Reedy 模型结构，将同伦余极限定义为在余锥范畴的神经复形上的加权余极限。
• 使用立方图和上推图映射分析丰富设定中的上纤维性与同伦笛卡尔性。
• 应用 Quillen 关于 Quillen 等价性的定理，通过同伦绝对加权余极限表征在预层范畴上诱导 Quillen 等价性的函子。
• 证明：若全子范畴在单边模型范畴中对单形张量封闭，则该子范畴是柱状同伦稠密当且仅当它是单纯同伦稠密。

实验结果

研究问题

• RQ1 在模型 $V$-范畴中，何时加权余极限是同伦不变构造，即同伦加权余极限？
• RQ2 同伦加权余极限如何用同伦张量积与普通同伦余极限表示？
• RQ3 与普通同伦余极限相比，同伦加权余极限在单纯集上的表达能力如何？
• RQ4 能否仅通过普通同伦余极限构造 dg-范畴上的同伦加权余极限？
• RQ5 哪些 $V$-函子在丰富预层范畴上诱导 Quillen 等价性？

主要发现

• 同伦加权余极限被表征为：当图是逐点上纤维化且权在射影模型结构中是上纤维化时的加权余极限。
• 同伦加权余极限 $W \star C D$ 弱同伦等价于在范畴 $C$ 上对张量积 $W \otimes D$ 的同伦余极限，这将经典共端公式推广到了同伦设定。
• 在单纯模型范畴中，同伦加权余极限并未扩展普通同伦余极限的表达能力，因为与标准单形的张量在弱等价意义下是平凡的。
• 在模型 dg-范畴中，去悬 functor（与 $\mathbb{Z}[-1]$ 的张量）无法表示为普通同伦余极限，表明同伦加权余极限增加了新的表达能力。
• $V$-函子 $F: D \to C$ 在预层范畴上诱导 Quillen 等价性，当且仅当它保持同伦绝对加权余极限，且对 $V = \mathrm{sSet}, \mathrm{sAb}, \mathrm{Cat}$ 给出了完整表征。
• 若单边模型范畴 $M$ 的全子范畴 $C \subseteq M_{\mathrm{cof}}$ 对单形张量封闭，则 $C$ 是柱状同伦稠密当且仅当它是单纯同伦稠密。