[论文解读] Hopf Algebra Equivariant Cyclic Homology and Cyclic Homology of Crossed Product Algebras

R. Akbarpour, Masoud Khalkhali|ArXiv.org|Nov 29, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文将 Getzler 与 Jones 对群作用下交叉积代数的循环同调工作推广至霍普夫代数作用的情形，引入了柱状复形 $A\natural\mathcal{H}$，并证明了交叉积代数的循环复形与这些柱状复形的对角复形之间的同构关系。当霍普夫代数 $\mathcal{H}$ 的反元素 $S$ 可逆时，建立了逼近 $A\rtimes\mathcal{H}$ 的循环同调的谱序列，并显式计算了 $\mathsf{E}^0$、$\mathsf{E}^1$ 与 $\mathsf{E}^2$ 项。

ABSTRACT

We introduce the cylindrical module $A atural \mathcal{H}$, where $\mathcal{H}$ is a Hopf algebra and $A$ is a Hopf module algebra over $\mathcal{H}$. We show that there exists an isomorphism between $\mathsf{C}_{\bullet}(A^{op} times \mathcal{H}^{cop})$ the cyclic module of the crossed product algebra $A^{op} times \mathcal{H}^{cop} $, and $Δ(A atural \mathcal{H}) $, the cyclic module related to the diagonal of $A atural \mathcal{H}$. If $S$, the antipode of $\mathcal{H}$, is invertible it follows that $\mathsf{C}_{\bullet}(A times \mathcal{H}) \simeq Δ(A^{op} atural \mathcal{H}^{cop})$. When $S$ is invertible, we approximate $HC_{\bullet}(A times \mathcal{H})$ by a spectral sequence and give an interpretation of $ \mathsf{E}^0, \mathsf{E}^1$ and $\mathsf{E}^2 $ terms of this spectral sequence.

研究动机与目标

• 将交叉积代数的循环同调理论从群作用推广至霍普夫代数作用。
• 为霍普夫代数 $\mathcal{H}$ 作用下的霍普夫模代数 $A$ 定义柱状复形 $A\natural\mathcal{H}$，并证明其对角复形构成一个循环复形。
• 在反元素可逆的条件下，建立交叉积代数的循环复形与柱状复形对角复形之间的同构关系。
• 当反元素 $S$ 可逆时，构造逼近 $HC_\bullet(A\rtimes\mathcal{H})$ 的谱序列，并计算其初始项。
• 将结果应用于半单霍普夫代数以及具有局部幂零导子的代数，从而在周期循环上同调中重新获得已知的同构关系。

提出的方法

• 为霍普夫代数 $\mathcal{H}$ 作用下的霍普夫模代数 $A$ 引入柱状复形 $A\natural\mathcal{H}$，利用 $\mathcal{H}$ 在 $A$ 上的作用。
• 通过验证所需的面算子、退化算子与循环算子满足拟循环恒等式，证明其对角复形 $\Delta(A\natural\mathcal{H})$ 构成一个循环复形。
• 利用柱状复形的 Eilenberg-Zilber 定理，建立 $\mathsf{C}_\bullet(A^{op}\rtimes\mathcal{H}^{cop})$ 与 $\Delta(A\natural\mathcal{H})$ 之间的同构。
• 当反元素 $S$ 可逆时，通过对偶性与模结构，导出同构 $\mathsf{C}_\bullet(A\rtimes\mathcal{H}) \simeq \Delta(A^{op}\natural\mathcal{H}^{cop})$。
• 构造等变循环复形 $C_\bullet^{\mathcal{H}^{cop}}(A^{op})$，并利用它构建逼近 $HC_\bullet(A^{op}\rtimes\mathcal{H}^{cop})$ 的谱序列。
• 利用同调代数方法与 $\mathcal{H}$ 在 $A$ 上的作用，计算谱序列的 $\mathsf{E}^0$、$\mathsf{E}^1$ 与 $\mathsf{E}^2$ 项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当霍普夫代数 $\mathcal{H}$ 作用于 $A$ 时，如何计算交叉积代数 $A\rtimes\mathcal{H}$ 的循环同调？
• RQ2 反元素 $S$ 在建立交叉积代数的循环复形与柱状复形对角复形之间的同构关系中起什么作用？
• RQ3 当 $S$ 可逆时，能否构造一个逼近 $HC_\bullet(A\rtimes\mathcal{H})$ 的谱序列？该序列的初始项是什么？
• RQ4 $\mathsf{E}^0$、$\mathsf{E}^1$ 与 $\mathsf{E}^2$ 项如何与 $\mathcal{H}$-不变子复形及余不变子复形的同调相关？
• RQ5 该谱序列对具有局部幂零导子或半单霍普夫代数的代数有何影响？

主要发现

• 柱状复形 $A\natural\mathcal{H}$ 的对角复形 $\Delta(A\natural\mathcal{H})$ 同构于循环复形 $\mathsf{C}_\bullet(A^{op}\rtimes\mathcal{H}^{cop})$。
• 当反元素 $S$ 可逆时，存在同构 $\mathsf{C}_\bullet(A\rtimes\mathcal{H}) \simeq \Delta(A^{op}\natural\mathcal{H}^{cop})$，将先前结果推广至一般霍普夫代数。
• 构造了一个逼近 $HC_\bullet(A^{op}\rtimes\mathcal{H}^{cop})$ 的谱序列，其 $\mathsf{E}^0$ 项为 $\mathsf{E}^0_{pq} = C_p^{\mathcal{H}^{cop}}(A^{op}) \otimes \Omega_q(\mathcal{H}^{cop})$。
• $\mathsf{E}^1$ 项同构于复形 $C_\bullet^{\mathcal{H}^{cop}}(A^{op})$ 与 $\mathcal{H}^{cop}$ 的标准复形系数的同调，$\mathsf{E}^2$ 项为 $\mathcal{H}^{cop}$-余不变子复形的同调。
• 对于半单霍普夫代数，谱序列在 $\mathsf{E}^1$ 项处崩溃，且有 $HC_\bullet(A\rtimes\mathcal{H};\mathsf{W}) \cong HC_\bullet(C_\bullet^{\mathcal{H}}(A);\mathsf{W})$，其中 $C_\bullet^{\mathcal{H}}(A)$ 为等变链复形。
• 在 $A$ 上具有局部幂零导子 $\delta$ 且 $\mathcal{H} = k[x]$ 的情形下，谱序列给出周期循环上同调中的 6 项正合列，且由高阶项消失可推出 $HP^\ast(A\rtimes\mathcal{H}) \simeq HP^\ast(A)$。