[论文解读] Hopf algebra structures and tensor products for group algebras

Jon Carlson, Srikanth B. Iyengar|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文证明，对于初等阿贝尔 $p$-群的群代数，由度数为一的元素的博克斯坦生成的上同调环的多项式子环 $S$ 的作用——在模上同调上——独立于群型与李型霍普夫代数余代数结构的选择。这种不变性确保了涉及模 $L_\zeta$（$ \zeta \in S$）的张量积在任意余代数结构下均有定义，从而消除了通过霍普夫代数结构将群表示与交换代数联系起来时的关键障碍。

ABSTRACT

The modular group algebra of an elementary abelian p-group is isomorphic to the restricted enveloping algebra of commutative restricted Lie algebra. The different ways of regarding this algebra result in different Hopf algebra structures that determine cup products on cohomology of modules. However, it is proved in this paper that the products with elements of the polynomial subring of the cohomology ring generated by the Bocksteins of the degree one elements are independent of the choice of these coalgebra structures.

研究动机与目标

• 解决由初等阿贝尔 $p$-群的群代数上不同霍普夫代数余代数结构所引起的 $kE$-模张量积构造中的歧义。
• 证明由度数为一的元素的博克斯坦生成的多项式子环 $S$ 在 $\operatorname{Ext}^*_{kE}(M,M)$ 上的作用独立于余代数结构。
• 建立当 $\zeta \in S$ 时，$L_\zeta \otimes_k M$ 的同构类在群余代数或李余代数结构下均定义良好。
• 通过证明关键映射 $\theta^M$ 因子化至霍赫希尔德上同调，且其在 $S$ 上的限制独立于余代数选择，从而支持交换代数与群表示理论之间的范畴等价。

提出的方法

• 利用上同调作用映射 $\theta^M: \operatorname{Ext}^*_{kE}(k,k) \to \operatorname{Ext}^*_{kE}(M,M)$ 因子化至霍赫希尔德上同调 $\operatorname{HH}^*(kE/k; kE)$，将余代数依赖性与模依赖性分离。
• 采用斯维德勒记法表示共乘法，并通过 $\alpha \cdot (x \otimes m) = \sum_{(\alpha)} \alpha_1 x \otimes \alpha_2 m$ 定义模张量积上的对角作用。
• 利用同构 $kE \cong k[x_1,\dots,x_r]/(x_1^p,\dots,x_r^p)$ 将群代数实现为具有平凡括积与 $p$-幂运算的交换受限李代数的受限包络代数。
• 利用 $E$ 是循环 $p$-群的直积这一事实，通过显式计算表明，两种余代数结构下，霍赫希尔德上同调映射在 $S$ 上的限制完全相同。
• 依赖佩茨索瓦与威瑟斯庞的结果：$\theta^M$ 因子化至 $\operatorname{HH}^*(kE/k; kE)$，从而将问题简化为比较该分解中的第一张图。
• 通过在两种余代数结构下分析 $L_\zeta$-模在张量积下的行为，结合特征为 2 时的显式基底计算，证明了在 $S$ 之外的区域该不变性不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 群代数的霍普夫余代数结构选择是否会影响上同调环在 $\operatorname{Ext}^*_{kE}(M,M)$ 上的作用？
• RQ2 由度数为一的元素的博克斯坦生成的多项式子环 $S$ 的作用是否在余代数结构选择下保持不变？
• RQ3 当 $\zeta \in S$ 时，$L_\zeta \otimes_k M$ 的同构类是否可独立于余代数结构定义？
• RQ4 若在 $S$ 上的限制保持不变，当余代数结构改变时，模的支持簇是否仍保持不变？
• RQ5 是否存在该不变性结果的强逆命题，即张量积同构仅当上同调类属于 $S$ 时才成立？

主要发现

• 子环 $S \subseteq \operatorname{H}^*(E,k)$——由度数为一的元素的博克斯坦生成——在 $\operatorname{Ext}^*_{kE}(M,M)$ 上的作用，独立于 $kE$ 上群型与李型霍普夫代数余代数结构的选择。
• 作为推论，对任意 $kE$-模 $M$ 及任意 $\zeta \in S$，张量积 $L_\zeta \otimes_k M$ 的同构类在两种余代数结构下均有良好定义。
• 因式分解中的霍赫希尔德上同调映射 $\operatorname{HH}^*(kE/k; kE) \to \operatorname{Ext}^*_{kE}(M,M)$（其因子为 $\theta^M$）在两种余代数结构下于 $S$ 上的限制相同，从而保证了不变性。
• 由于 $J(M) \cap S$——即 $\operatorname{Ext}^*_{kE}(M,M)$ 在 $S$ 中的消去子——在余代数选择下保持不变，因此支持簇 $V_G(M)$ 也独立于余代数结构。
• 在特征为 2 时，显式计算表明：当 $\zeta \notin S$ 时，$L_\zeta \otimes_k L_\zeta$ 在李余代数结构下可约，但在群余代数结构下不可约，从而证明了结果的紧致性。
• 使用 Magma 进行的计算机实验表明，$L_{\gamma_1} \otimes_k L_{\gamma_2}$ 的同构类独立于余代数结构，当且仅当 $\gamma_1$ 或 $\gamma_2$ 属于 $S$，支持了主定理的强逆命题。