[论文解读] Hopf algebras of GK-dimension two with vanishing Ext-group

D.-G. Wang, J.J. Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文构造并分类了一类新的、有限生成的诺特性霍普夫域，其Gelfand-Kirillov维数为二，且一阶Ext群为零，即 $\operatorname{Ext}^1_H(k,k)=0$，从而否定了Goodearl与Zhang提出的问题：是否所有此类霍普夫域都必须满足非零Ext条件。作者引入了一个新类 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$，并证明在排除单位根的假设下，这些是唯一满足零Ext条件的代数。

ABSTRACT

We construct and study a family of finitely generated Hopf algebra domains $H$ of Gelfand-Kirillov dimension two such that $\Ext^1_H(k,k)=0$. Consequently, we answer a question of Goodearl and the second-named author.

研究动机与目标

• 构造有限生成的诺特性霍普夫域，其GK维数为二，且满足 $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$，以回答Goodearl与Zhang提出的问题。
• 在假设 $\Omega'$ 下对这类霍普夫域进行分类，该假设排除了当 $q$ 为五次或七次单位根时，$A(1,q)$ 作为霍普夫子代数的存在。
• 提供证据表明，在给定限制下，新族 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ 完全覆盖了所有GK维数为二且一阶Ext群为零的霍普夫域。
• 证明新代数在它们的仿射中心上是有限生成的，且当且仅当 $s=2$ 且 $\alpha_1 \neq \alpha_2$ 时，其整体维数有限。

提出的方法

• 将Goodearl-Zhang的代数 $B(n,p_0,\dots,p_s,q)$ 修改，构造新的霍普夫代数族 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$。
• 利用斜余原像与群元的结构定义关系：$x^{-1}y_i x = q_i y_i$，$y_i^{p_i} = y_1^{p_1} + \alpha_i(x^M - 1)$，以及 $q_i^{n_j} = q_j^{n_i} = 1$。
• 应用余根基滤过与GK维数分析，研究霍普夫子代数的结构，并通过假设 $\Omega'$ 对其进行分类。
• 利用 $\operatorname{Ext}^1_H(k,k)$ 的消失性，排除所有 $\alpha_i = 0$ 的情形，否则将迫使 $H$ 同构于七个已知的非零Ext代数之一。
• 利用Goodearl-Zhang在条件 ($\natural$) 下的分类结果，并通过新的分类定理将其推广至零Ext情形。
• 利用斜余原像及其权的性质，证明在 $\Omega'$ 条件下，新族 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ 是唯一可能的GK维数为二且满足 $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$ 的霍普夫域。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在GK维数为二且满足 $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$ 的霍普夫域，从而反驳先前分类中所假设的非零Ext条件 ($\natural$)？
• RQ2 在适当限制下，是否可以对所有有限生成的GK维数为二且满足 $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$ 的霍普夫域进行分类？
• RQ3 在排除某些单位根后，新族 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ 是否是唯一满足GK维数为二且 $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$ 的霍普夫域族？
• RQ4 新霍普夫代数 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ 的同调性质（如内射维数、整体维数）是什么？
• RQ5 在何种条件下，$B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ 的整体维数有限，且其值恰好为2？

主要发现

• 本文构造了一个新的霍普夫代数族 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$，其GK维数为二，且满足 $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$，提供了首个已知的Ext条件 ($\natural$) 失效的例子。
• 在假设 $\Omega'$ 下，即当 $q$ 为五次或七次单位根时，排除 $A(1,q)$ 作为霍普夫子代数，任何GK维数为二且满足 $\operatorname{Ext}^1_H(k,k) = 0$ 的有限生成霍普夫域必同构于 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$，且存在 $i \neq j$ 使得 $\alpha_i \neq \alpha_j$。
• $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ 在其仿射中心上是有限生成的，且其内射维数恰好为2。
• $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$ 的整体维数有限当且仅当 $s = 2$ 且 $\alpha_1 \neq \alpha_2$，此时其值等于2。
• 在 $\Omega'$ 下分类是完备的：任何此类霍普夫域要么同构于七个非零 $\operatorname{Ext}^1_H(k,k)$ 的家族之一，要么同构于新家族 $B(n,\{p_i\}_{1}^{s},q,\{\alpha_i\}_{1}^{s})$，且 $\alpha_i$ 不全为零。
• 该构造表明，在GK维数为二时，$\operatorname{Ext}^1_H(k,k)$ 的消失是可能的，因此以否定方式回答了 [GZ, 问题0.3]。