[论文解读] Hopf algebroids with bijective antipodes: axioms, integrals and duals

Gabriella Böhm, Kornél Szlachányi|ArXiv.org|Feb 26, 2003

Advanced Topics in Algebra被引用 4

一句话总结

本文引入了一类新的霍普夫代数胚，定义为具有双射对合的双侧双代数胚，该对合交换左右结构，从而推广了霍普夫代数和弱霍普夫代数。证明了此类霍普夫代数胚中非退化积分的存在性意味着基环扩张是弗罗贝尼乌斯扩张，从而可通过对偶性构造出对偶霍普夫代数胚，并证明该对偶性是对合的。

ABSTRACT

Motivated by the study of depth 2 Frobenius extensions we introduce a new notion of Hopf algebroid. It is a 2-sided bialgebroid with a bijective antipode which connects the two, left and right handed, structures. While all the interesting examples of the Hopf algebroid of J.H. Lu turn out to be Hopf algebroids in the sense of this paper, there exist simple examples showing that our definition is not a special case of Lu's. Our Hopf algebroids, however, belong to the class of $ imes_L$-Hopf algebras proposed by P. Schauenburg. After discussing the axioms and some examples we study the theory of non-degenerate integrals in order to obtain duals of Hopf algebroids.

研究动机与目标

• 定义一类新的霍普夫代数胚，通过引入连接左右双代数胚结构的双射对合，推广霍普夫代数和弱霍普夫代数。
• 通过展示对合自然地源于深度2弗罗贝尼乌斯扩张和双线性形式，阐明对合在双代数胚中的作用。
• 建立霍普夫代数胚存在对偶的条件，利用非退化积分的存在性。
• 证明具有非退化积分的霍普夫代数胚的对偶仍是霍普夫代数胚，且该对偶性是对合的。
• 证明该构造可恢复弱霍普夫代数中的已知对偶性，并将其推广至非交换基环。

提出的方法

• 将霍普夫代数胚定义为基环 $L$ 上的双侧双代数胚，配备一个双射对合 $S$，该对合交换左右双代数胚结构。
• 利用双代数胚中非退化积分的理论，通过基础代数的 $L$-对偶构造对偶对象。
• 利用由 $\iota: A \to {}^*({\cal A}_*)$ 定义的同构 $\iota(a)(\phi_*) = \phi_*(a)$，在原始代数的 $L$-对偶上构造对偶双代数胚结构。
• 证明非退化左积分 $\ell$ 的存在性意味着环扩张 $L \to A$ 是弗罗贝尼乌斯扩张，且 $A$ 作为 $L$-模是有限生成投射的。
• 证明对偶霍普夫代数胚 $({\cal A}^\ell_*, S^\ell_*)$ 通过一个扩展 $\iota$ 的严格同构与原始结构同构，利用对合与积分的相容性。
• 证明对偶操作是对合的，即两次应用可恢复原始霍普夫代数胚（至严格同构）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在双代数胚中定义对合，使其统一左右结构，特别是在对偶双代数胚并非以相同方式成为双代数胚时？
• RQ2 在何种条件下霍普夫代数胚存在对偶，以及如何代数地构造该对偶？
• RQ3 非退化积分在决定霍普夫代数胚及其对偶的代数结构中起什么作用？
• RQ4 该霍普夫代数胚的新定义与现有概念（如Lu的霍普夫代数胚或Schauenburg的 $\times_L$-霍普夫代数）有何关系？
• RQ5 能否利用此框架将弱霍普夫代数的对偶性推广至非交换基环？

主要发现

• 在霍普夫代数胚 $({\cal A}_L, S)$ 中，非退化左积分的存在性意味着环扩张 $L \to A$ 是弗罗贝尼乌斯扩张，且 $A$ 作为 $L$-模是有限生成投射的。
• $L$-对偶霍普夫代数胚 $({\cal A}_L, S)$，记为 $({\cal A}^\ell_*, S^\ell_*)$，具有明确定义的双代数胚结构。
• 对偶双代数胚 $({\cal A}^\ell_*, S^\ell_*)$ 配备有自然的对合，使其成为霍普夫代数胚。
• 对偶映射 $\iota: A \to {}^*({\cal A}_*)$ 扩展为霍普夫代数胚之间的严格同构，即 $({\cal A}_L, S^\prime_\ell)$ 与 $({}^*({\cal A}_*)_{L}, {}^*(S^\ell_*)_{\ell_L^{-1}(1_A)})$ 之间，证明对偶性是对合的。
• 该构造恢复了有限维霍普夫代数的经典对偶性，并将其推广至弱霍普夫代数和非交换基环。
• 本文提供了一个满足新公理但不满足Lu公理的霍普夫代数胚的例子，证明了两种概念并不等价。