[论文解读] Hopf bifurcation in a delayed reaction-diffusion-advection population model

Shanshan Chen, Yuan Lou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文研究了具有空间异质环境的时滞反应-扩散-对流种群模型中的Hopf分支。通过分析椭圆算子主特征值附近的非均匀空间正稳态的稳定性，作者证明了即使存在对流和空间异质性，时间延迟仍可引起不稳定并触发振荡模式的Hopf分支。

ABSTRACT

In this paper, we investigate a reaction-diffusion-advection model with time delay effect. The stability/instability of the spatially nonhomogeneous positive steady state and the associated Hopf bifurcation are investigated when the given parameter of the model is near the principle eigenvalue of an elliptic operator. Our result implies that time delay can make the spatially nonhomogeneous positive steady state unstable for a reaction-diffusion-advection model, and the model can exhibit oscillatory pattern through Hopf bifurcation.

研究动机与目标

• 研究时滞反应-扩散-对流种群模型中空间非均匀正稳态的稳定性与不稳定性。
• 研究在存在空间异质性和对流的情况下，时间延迟是否可引发Hopf分支。
• 确定此类模型中通过Hopf分支出现振荡解的条件。
• 推导分岔周期轨道方向与稳定性的显式公式。
• 将理论结果推广至具有零通量边界条件的模型，并通过数值方法验证。

提出的方法

• 通过变量替换变换原模型，以简化对流项，将其简化为具有时滞非线性的反应-扩散系统。
• 在假设 (A₁) 下，利用椭圆算子的主特征值分析正稳态附近线性化算子的谱性质。
• 应用中心流形约化与正规形理论，推导Hopf分支周期轨道方向与稳定性的显式公式。
• 利用隐函数定理证明对小参数，分岔方程存在光滑解分支。
• 通过验证非线性算子Fréchet导数的可逆性，建立分岔方程的可解性。
• 推导Hopf分支发生的临界延迟值 τₙ(λ)，其表达式基于特征值与相位角。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有空间异质增长率的反应-扩散-对流模型中，时间延迟是否可引发Hopf分支？
• RQ2 在存在延迟的情况下，对流如何影响空间非均匀正稳态的稳定性？
• RQ3 在何种条件下，此类模型中通过Hopf分支出现振荡模式？
• RQ4 分岔周期轨道的方向与稳定性如何？
• RQ5 临界延迟值 τₙ(λ) 如何依赖于扩散系数与空间异质性？

主要发现

• 当 λ ∈ (λ*, λ*]，且 0 < λ* - λ* ≪ 1 时，存在一列延迟值 {τₙ(λ)}ₙ=₀^∞，使得在空间非均匀正稳态处发生Hopf分支。
• 时间延迟 r 可使空间非均匀正稳态失稳，即使在无延迟时系统原本稳定，仍可引发振荡行为。
• 分岔周期轨道的方向与稳定性由通过中心流形约化与正规形理论推导出的显式公式确定。
• 当 d ∈ [d*, 1/λ*) 时，存在一列延迟值 {rₙ(d)}ₙ=₀^∞，使得原始模型 (1.2) 中发生Hopf分支。
• 临界延迟 τₙ 由 τₙ = (θₙ + 2nπ)/νₙ 给出，其中 νₙ 与 θₙ 由线性化系统的特征值与相位确定。
• 结果被推广至具有零通量边界条件的模型，数值模拟验证了理论预测的振荡模式。