[论文解读] Hopf bifurcation of a free boundary problem modeling tumor growth with angiogenesis and two time delays

Haihua Zhou, Zejia Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2021

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文研究了一个自由边界问题，用于建模具有血管生成和两个时间延迟（分别代表细胞有丝分裂和细胞凋亡调节）的球对称肿瘤生长。研究建立了霍普夫分支发生的条件，表明增加细胞增殖的时间延迟或调节血管生成速率可稳定或破坏肿瘤的稳态，数值模拟证实了延迟和血管生成对振荡动力学的影响。

ABSTRACT

This paper concerns a free boundary problem modeling tumor growth with angiogenesis and two time delays. The two delays represent the time taken for cells to undergo mitosis and modify the rate of cell loss because of apoptosis, respectively. We study the stability of stationary solutions and find that Hopf bifurcation occurs under some conditions, which extends the results of Xu. Furthermore, numerical simulations are performed to investigate the relationship among the rate of angiogenesis, two time delays and Hopf bifurcation.

研究动机与目标

• 研究具有血管生成和两个时间延迟的自由边界肿瘤模型中静止解的稳定性。
• 确定霍普夫分支发生的条件，表明肿瘤振荡动力学的出现。
• 研究血管生成速率（α）和时间延迟（τ₁, τ₂）对霍普夫分支发生的影响。
• 通过Matlab的数值模拟验证理论结果。
• 探讨τ₁和α的变化如何影响临界分岔点τ₂*。

提出的方法

• 建立一个自由边界问题，其中营养物质扩散由偏微分方程（1.1）描述，肿瘤半径演化由带时滞的常微分方程（2.5）描述。
• 利用特殊函数f(x)和g(x)推导出营养浓度σ(r,t)的显式解，将系统简化为关于ω(t) = η³(t)的标量时滞微分方程（DDE）。
• 通过线性化DDE并计算特征方程，分析静止解的稳定性，以确定霍普夫分支的条件。
• 应用逐段法证明在初始数据定义于[−τ, 0]时，该DDE的瞬态解存在且唯一。
• 使用Matlab进行数值模拟，以验证理论结果并探索α、τ₁、τ₂之间的参数相互作用与霍普夫分支的关系。
• 对α（0.2至∞）和τ₁（0.05至1.2）进行参数扫描，计算每组组合下的临界分岔点τ₂*。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有两个时间延迟和血管生成的肿瘤生长模型中，霍普夫分支在何种条件下发生？
• RQ2 细胞增殖的时间延迟（τ₁）如何影响肿瘤半径振荡行为的出现？
• RQ3 血管生成速率α如何影响霍普夫分支发生的临界值τ₂*？
• RQ4 当α固定时，τ₂*与τ₁之间的关系如何？该关系如何随α的增加而变化？
• RQ5 数值模拟能否证实理论预测：即增加τ₁可使系统稳定或延迟霍普夫分支？

主要发现

• 当细胞凋亡调节的时间延迟τ₂超过临界阈值τ₂*时发生霍普夫分支，τ₂*取决于τ₁和α。
• 当α固定时，临界分岔点τ₂*随τ₁线性增加，表明更长的增殖延迟会延迟振荡的出现。
• 当τ₁ < 0.3时，τ₂*随α增加而增加，表明较高的血管生成速率可稳定系统；当τ₁ ≥ 0.3时，τ₂*随α增加而减小，表明系统趋于不稳定。
• 当α = 1000时，临界分岔点τ₂*与α = ∞（狄利克雷条件）时几乎相同，表明高血管生成速率已达到稳定效应的饱和状态。
• 数值模拟证实，增加τ₂会导致阻尼振荡；当τ₂接近τ₂*时，出现无阻尼振荡；而τ₂ > τ₂*则导致非正解，表明系统不稳定。
• 在所有测试的参数组合中，霍普夫分支的理论条件均被满足，其中A₁ ∈ [−1.8644, −1.5830]，且π/(2√(A₂² − A₁²)) ∈ [1.2851, 2.1698]，确认了特征方程中存在纯虚根。