[论文解读] Hopf Galois Extension in Braided Tensor Categories

Yao-Zhong Zhang, Yao-Zhong Zhang|ArXiv.org|Sep 27, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文在具有等化子与余等化子的辫子张量范畴中，建立了交叉积代数与 H-Galois扩张之间的范畴等价。证明了当且仅当扩张 $ A/B $ 是 Galois 的、典范映射 $ q: A \otimes A \to A \otimes_B A $ 是分裂的，且在范畴 $ \mathcal{C} $ 中 $ A \cong B \otimes H $ 作为左 $ B $-模与右 $ H $-余模时，$ A = B \#_{\sigma} H $ 是一个交叉积。

ABSTRACT

The relation between crossed product and $H$-Galois extension in braided tensor category ${\cal C}$ with equivalisers and coequivalisers is established. That is, it is shown that if there exist an equivaliser and a coequivaliser for any two morphisms in ${\cal C}$, then $A = B #_σH$ is a crossed product algebra if and only if the extension $A/B$ is Galois, the canonical epic $q: A\otimes A o A\otimes_B A$ is split and $A$ is isomorphic as left $B$-modules and right $H$-comodules to $B\otimes H$ in ${\cal C}$.

研究动机与目标

• 将经典交叉积与 H-Galois 扩张之间的对应关系推广到辫子张量范畴的设定。
• 通过等化子与余等化子，在非具体范畴中定义余不变量与相对张量积。
• 在辫子张量范畴中，为交叉积代数成为 H-Galois 扩张建立必要且充分条件。
• 为 Yeter-Drinfeld 范畴 $ {}_D^D\mathcal{YD} $ 中的 H-Galois 扩张提供范畴框架，适用于辫子 Hopf 代数。
• 将已知的 Hopf-Galois 理论结果扩展到辫子设定，特别是针对 Yeter-Drinfeld 范畴中的 Hopf 代数。

提出的方法

• 使用等化子与余等化子在非具体范畴中定义辫子张量范畴 $ \mathcal{C} $ 中的余不变量 $ A^{coH} $ 与相对张量积 $ A \otimes_B A $，无需假设具体性。
• 通过存在一个同构 $ \text{can}: A \otimes_B A \to A \otimes H $ 来定义 H-Galois 扩张，使得 $ \text{can} \circ q = \text{can}' $，其中 $ \text{can}' = (m_A \otimes H)(A \otimes \psi) $。
• 在 $ \mathcal{C} $ 中通过 $ H $ 在 $ B $ 上的弱作用 $ \alpha $、2-上链 $ \sigma $ 以及相容性条件，引入交叉积 $ B \#_{\sigma} H $ 的概念。
• 证明 $ A = B \#_{\sigma} H $ 是交叉积代数当且仅当 $ A/B $ 是 Galois 扩张、$ q $ 是分裂的，且 $ A \cong B \otimes H $ 作为左 $ B $-模与右 $ H $-余模。
• 将一般结果应用于 Yeter-Drinfeld 范畴 $ {}_D^D\mathcal{YD} $，其中等化子与余等化子被实现为核与余核。
• 利用 $ {}_D^D\mathcal{YD} $ 中辫子 Hopf 代数的结构，包括 Radford 构造与 Nichols 代数，提供具体例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种范畴条件下，交叉积代数 $ B \#_{\sigma} H $ 在辫子张量范畴中对应于 H-Galois 扩张？
• RQ2 在不假设具体范畴的前提下，如何在辫子张量范畴中定义余不变量与相对张量积？
• RQ3 在具有等化子与余等化子的辫子张量范畴中，代数 $ A $ 同时为交叉积与 H-Galois 扩张的必要且充分条件是什么？
• RQ4 在此范畴设定中，H-Galois 条件如何与典范映射 $ q: A \otimes A \to A \otimes_B A $ 的分裂性相关联？
• RQ5 该一般理论能否应用于 Yeter-Drinfeld 范畴 $ {}_D^D\mathcal{YD} $？对辫子 Hopf 代数有何影响？

主要发现

• 在具有等化子与余等化子的辫子张量范畴 $ \mathcal{C} $ 中，$ A = B \#_{\sigma} H $ 是交叉积代数当且仅当扩张 $ A/B $ 是 Galois 的、典范映射 $ q: A \otimes A \to A \otimes_B A $ 是分裂的，且在 $ \mathcal{C} $ 中 $ A \cong B \otimes H $ 作为左 $ B $-模与右 $ H $-余模。
• 余不变量 $ A^{coH} $ 定义为 $ \psi $ 与 $ \text{id}_A \otimes \eta_H $ 的等化子，而相对张量积 $ A \otimes_B A $ 定义为涉及 $ m_A \otimes A $ 与 $ A \otimes m_A $ 的两个复合的余等化子。
• 在 Yeter-Drinfeld 范畴 $ {}_D^D\mathcal{YD} $ 中，等化子与余等化子对应于核与余核，因此一般结果特化为一个具体范畴设定。
• 推论 2.1 表明，当 $ \mathcal{C} = {}_D^D\mathcal{YD} $ 时，若存在可逆 2-上链与弱作用，则 $ A = B \#_{\sigma} H $ 是交叉积当且仅当满足 Galois 条件、分裂条件与模-余模同构条件。
• 该结果将经典 Hopf 代数理论中的已知结果（如 [9, 定理 6.4.12]）推广到辫子设定，在此设定中由于非平凡辫子的存在，$ q $ 的分裂性并非自动成立。
• 例子包括通过从分次 Hopf 代数或 (co)三角 Hopf 代数出发的 Radford 方法构造的辫子 Hopf 代数，以及天然具有辫子结构的 Nichols 代数。