[论文解读] Hopf Galois Structures on Primitive Purely Inseparable Extensions

Alan Koch|arXiv (Cornell University)|May 29, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文在特征为 $ p $ 的域 $ K $ 上，构造了无限族的单生成元、有限维、交换、余交换、局部-局部的 Hopf 代数 $ H $，其维数为 $ p^n $（$ n \geq 2 $），使得一个次数为 $ p^n $ 的本原纯不可分扩张 $ L/K $ 成为 $ H $-Galois 对象。该构造产生了 $ n-1 $ 类此类 Hopf 代数，参数化于 $ K^\times / (K^{p^{r+1}-1})^\times $，并表明对于某些 $ K $，$ L/K $ 可以是无穷多个非同构 $ H $ 的 Hopf Galois 扩张，与可分情形下的有限分类形成鲜明对比。

ABSTRACT

Let $L/K$ be a primitive purely inseparable extension of fields of characteristic $p$, $\left[ L:K ight] >p.$ It is well known that $L/K$ is Hopf Galois for some Hopf algebra $H$, and it is suspected that $L/K$ is Hopf Galois for numerous choices of $H$. We construct a family of $K$-Hopf algebras $H$ for which $L$ is an $H$-Galois object. For some choices of $K$ we will exhibit an infinite number of such $H.$ We provide some explicit examples of the dual, Hopf Galois, structure on $L/K.$

研究动机与目标

• 确定所有可能的有限维、交换、余交换、局部-局部的 $ K $-Hopf 代数 $ H $，使得一个次数为 $ p^n $（$ n \geq 2 $）的本原纯不可分扩张 $ L/K $ 成为 $ H $-Galois 对象。
• 证明对于某些域 $ K $，此类 Hopf 代数 $ H $ 的数量是无限的，与可分情形下的有限分类形成对比。
• 提供这些 Hopf 代数及其在 $ L $ 上作用的显式代数构造，使用单生成元和截断多项式结构。
• 通过本原扩张结构的张量积，将构造推广至一般模形式扩张。
• 证明并非所有模形式扩张上的局部-局部 Hopf Galois 结构都源于所构造的族，表明存在更一般的结构。

提出的方法

• 将 $ K $-Hopf 代数 $ H_{n,r,f} $ 构造为多项式代数 $ K[t]/(t^{p^n}) $ 的商代数，其余乘法通过迭代的 $ p $-次幂定义，并引入参数 $ f \in K^\times $。
• 在 $ L = K(x) $ 上定义 $ H $-作用，其中 $ x^{p^n} \in K $，使用公式 $ z_{p^s}(x^i) = i_{(s)} x^{i - p^s} $（当 $ s < r $ 时），当 $ s = r $ 时使用包含 $ f $ 项的修正公式。
• 利用 $ H $ 与其线性对偶 $ H^* $ 之间的对偶性，通过同构 $ \gamma: L \otimes L \to L \otimes H $，$ \gamma(a \otimes b) = (a \otimes 1) \alpha(b) $，证明 $ L $ 是 $ H $-Galois 对象。
• 根据参数 $ r $（其中 $ 0 < r < n $）对 Hopf 代数进行分类，且对每个 $ r $，同构类取决于 $ f \in K^\times / (K^{p^{r+1}-1})^\times $ 的陪集。
• 通过将 $ L/K $ 分解为本原扩张的张量积，并构造对应 Hopf 代数 $ H_{n_i, r_i, f_i} $ 的张量积，将构造推广至一般模形式扩张。
• 证明 $ H $ 的代数结构至关重要：尽管余代数结构自然支持一个余作用，但并非所有截断多项式代数 $ L \otimes L $ 都能赋予此类 Hopf 代数结构，且某些 $ H $ 并非单生成元。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一个次数为 $ p^n $（$ n \geq 2 $）的本原纯不可分扩张 $ L/K $，有多少个非同构的有限维、交换、余交换、局部-局部的 $ K $-Hopf 代数 $ H $ 可使 $ L $ 成为 $ H $-Galois 对象？
• RQ2 对于某些域 $ K $，此类 Hopf 代数的数量是否可以是无限的？如果是，其条件是什么？
• RQ3 域 $ K $ 的结构，特别是乘法群 $ K^\times $，如何影响这些 Hopf 代数的分类？
• RQ4 该构造能否推广至任意模形式扩张？若是，其推广存在何种限制？
• RQ5 是否存在无法由所构造族获得的模形式扩张上的 Hopf Galois 结构？若是，其特征是什么？

主要发现

• 对于每个满足 $ 1 \leq r \leq n-1 $ 的 $ r $，存在一族参数化于 $ f \in K^\times / (K^{p^{r+1}-1})^\times $ 的 $ K $-Hopf 代数 $ H_{n,r,f} $，每个性质都使 $ L/K $ 成为 $ H $-Galois 对象。
• 若 $ K^\times / (K^{p^{r+1}-1})^\times $ 为无限，则此类 Hopf 代数的数量为无限，这在许多非完美域 $ K $（如 $ K = \mathbb{F}_p(T) $）中成立。
• 对于每个此类 $ H $，有 $ p^{n-1}(p-1) $ 种不同的方式可将 $ L $ 实现为 $ H $-Galois 对象，对应于不同生成元的选择。
• 对偶 Hopf 代数 $ H^* $ 作为 $ K $-模由单项式 $ \prod_{s=0}^{n-1} z_{p^s}^{j_s} $ 生成，其中 $ 0 \leq j_s \leq p-1 $，其在 $ L $ 上的作用可显式计算。
• 通过张量积，该构造可推广至模形式扩张：若 $ L = \bigotimes_{i=1}^s L_i $，且每个 $ L_i/K $ 为次数 $ p^{n_i} $ 的本原扩张，则 $ H = \bigotimes_{i=1}^s H_{n_i,r_i,f_i} $ 使 $ L $ 成为 $ H $-Galois 对象。
• 存在某些模形式扩张，其 $ H $-Galois 结构非单生成元，且无法由所呈现的族构造，表明局部-局部 Hopf Galois 结构的完整集合严格大于所构造的类。