[论文解读] Hopf invariants, topological complexity, and LS-category of the cofiber of the diagonal map for two-cell complexes

Jesús González, Mark Grant+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 6

一句话总结

该论文证明，在 $q \leq 3(p-1)$ 的亚稳态范围内，由附着映射 $\alpha: S^q \to S^p$ 构造的两细胞复形 $X$ 的拓扑复杂度（TC）等于其对角映射 $\Delta: X \to X \times X$ 的余纤维 $C_X$ 的Lusternik-Schnirelmann范畴（cat），唯一例外情况是当 $p$ 为偶数且 $\alpha$ 的Hopf不变量阶为3时。该结果通过广义Hopf不变量与纤维化连接技术推导得出，扩展了此前关于截面范畴及机器人运动规划中拓扑复杂度的研究。

ABSTRACT

Let $X$ be a two-cell complex with attaching map $\\alpha\\colon S^q\ o S^p$, and let $C_X$ be the cofiber of the diagonal inclusion $X\ o X\ imes X$. It is shown that the topological complexity (${\ m TC}$) of $X$ agrees with the Lusternik-Schnirelmann category (${\ m cat}$) of $C_X$ in the (almost stable) range $q\\leq2p-1$. In addition, the equality ${\ m TC}(X)={\ m cat}(C_X)$ is proved in the (strict) metastable range $2p-1<q\\leq3(p-1)$ under fairly mild conditions by making use of the Hopf invariant techniques recently developed by the authors in their study of the sectional category of arbitrary maps.

研究动机与目标

• 确定两细胞复形 $X$ 的拓扑复杂度 $\mathrm{TC}(X)$ 是否等于其对角映射余纤维的LS范畴 $\mathrm{cat}(C_X)$。
• 将广义Hopf不变量技术的应用扩展至机器人运动规划背景下拓扑复杂度与LS范畴的研究。
• 在亚稳态范围 $2p-1 < q \leq 3(p-1)$ 内，解决 $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X)$ 成立或不成立的情形，特别是当Hopf不变量阶为3时。
• 通过零化子上积长度与高阶Hopf不变量，提供 $\mathrm{TC}(X)$ 与 $\mathrm{cat}(C_X)$ 的同伦刻画。
• 将已知的 $\mathrm{TC}(X)$ 与 $\mathrm{cat}(C_X)$ 等式推广至更广泛的两细胞复形类，超越已知的曲面与射影空间等例子。

提出的方法

• 利用作者近期发展的广义Hopf不变量技术，分析映射的截面范畴，特别是对角包含映射 $\Delta: X \to X \times X$。
• 应用纤维化连接构造来建模 $C_X$ 的Ganea纤维化，从而通过高阶Hopf不变量计算 $\mathrm{cat}(C_X)$。
• 依赖于第三阶Hopf不变量 $h_3^{\mathrm{cat}}$ 与 $C_X$ 的Ganea纤维化序列首映射的识别，将其与拓扑复杂度联系起来。
• 将 $X$ 的零化子上积长度用作 $\mathrm{cat}(C_X)$ 的下界，利用对偶 $(X \times X, X)$ 的上同调序列的分裂性质。
• 在 $\mathbb{Z}_k$ 系数下应用Bockstein算子 $\beta_k$，证明当 $|\deg(\alpha)| > 2$ 时有 $\mathrm{cat}(C_X) \geq 4$，利用范畴权理论。
• 结合文献[7]与[9]的结果，建立在特定维数与连通性条件下 $\mathrm{cat}(C_X) \leq \mathrm{TC}(X)$ 与 $\mathrm{TC}(X) \leq \mathrm{cat}(C_X)$ 的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两细胞复形 $X$ 的拓扑复杂度 $\mathrm{TC}(X)$ 等于其对角映射余纤维的LS范畴 $\mathrm{cat}(C_X)$？
• RQ2 附着映射 $\alpha: S^q \to S^p$ 的Hopf不变量在决定亚稳态范围内 $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X)$ 是否成立时起什么作用？
• RQ3 $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X)$ 是否可能在亚稳态范围 $2p-1 < q \leq 3(p-1)$ 内不成立？若成立，其同伦条件为何？
• RQ4 零化子上积长度与高阶Hopf不变量如何共同提供 $\mathrm{cat}(C_X)$ 的下界，并进而影响其与 $\mathrm{TC}(X)$ 的等式关系？
• RQ5 在何种条件下 $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X) + 1$ 成立？这对其涉及的Hopf不变量结构意味着什么？

主要发现

• 对于由附着映射 $\alpha: S^q \to S^p$ 构造的两细胞复形 $X_\alpha$，当 $q \leq 3(p-1)$ 时，有 $\mathrm{TC}(X_\alpha) = \mathrm{cat}(C_{X_\alpha})$，唯一例外是当 $p$ 为偶数且Hopf不变量 $H(\alpha)$ 阶为3时。
• 在 $p$ 为偶数且 $H(\alpha)$ 阶为3的例外情况下，证明了 $2 \leq \mathrm{cat}(C_X) \leq \mathrm{TC}(X) \leq 3$，表明等式可能不成立。
• 当 $q = 2p - 1$ 且 $p \geq 2$ 时，若 $H(\alpha) \neq 0$，则通过零化子上积长度与 $\mathrm{TC}(X) = 4$ 的事实，确认了 $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X)$ 成立。
• 当 $p = q = 1$ 时，对所有 $\deg(\alpha)$，等式均成立：若 $|\deg(\alpha)| = 1$，则 $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X) = 2$；若 $|\deg(\alpha)| > 2$，则 $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X) = 4$。
• 当 $H(\alpha) = 0$ 时，有 $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{zcl}_{\mathbb{Q}}(X) = 2$ 且 $\mathrm{cat}(C_X) = 2$，因此在 $2 \leq p \leq q \leq 3(p-1)$ 范围内等式成立。
• 该结果可推广至所有有限型的路径连通悬垂复形，由于引理4.1与注记2.3的结合，有 $\mathrm{TC}(X) = \mathrm{cat}(C_X)$ 成立。