[论文解读] Hopf polyads, Hopf categories and Hopf group monoids viewed as Hopf monads

Gabriella Böhm|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文证明，霍普夫多面体（Hopf polyads）、霍普夫范畴（Hopf categories）和霍普夫群独异点（Hopf group monoids）——这些高阶范畴理论与霍普夫代数理论中的近期结构——可统一理解为特定张量2-范畴构造 Span|V 中的霍普夫单子。通过将这些结构函子性地嵌入到一个张量2-范畴 V 的 Span|V 中，作者表明这三类对象均作为自然弗罗贝尼乌斯映射反单倍体上的霍普夫单子出现，从而在张量2-范畴中的霍普夫单子这一共同框架下，统一了它们的反极性质与代数结构。

ABSTRACT

We associate, in a functorial way, a monoidal bicategory $\mathsf{Span}| \mathcal V$ to any monoidal bicategory $\mathcal V$. Two examples of this construction are of particular interest: Hopf polyads (due to Bruguières) can be seen as Hopf monads in $\mathsf{Span}| \mathsf{Cat}$ while Hopf group monoids in a braided monoidal category $V$ (in the spirit of Turaev and Zunino), and Hopf categories over $V$ (by Batista, Caenepeel and Vercruysse) both turn out to be Hopf monads in $\mathsf{Span}| V$. Hopf group monoids and Hopf categories are Hopf monads on a distinguished type of monoidales fitting the framework studied recently by Böhm and Lack. These examples are related by a monoidal pseudofunctor $V o \mathsf{Cat}$.

研究动机与目标

• 在统一的范畴框架下统一描述多种代数结构——霍普夫多面体、霍普夫范畴与霍普夫群独异点。
• 证明这些结构可作为特定张量2-范畴构造 Span|V 中的霍普夫单子出现，其中 V 为给定的张量2-范畴。
• 证明霍普夫群独异点与霍普夫范畴是 Span|V 中自然弗罗贝尼乌斯映射反单倍体上的霍普夫单子，从而解释其反极的存在性与性质。
• 建立从 Span|V 到 Span|Cat 的张量伪函子，将霍普夫群独异点与霍普夫范畴均映射为霍普夫多面体，揭示这三类结构之间的层级关系。

提出的方法

• 从任意给定的张量2-范畴 V 构造一个函子性张量2-范畴 Span|V，保持张量与反张量结构。
• 证明当 V 为张量2-范畴时，Span|V 继承张量结构，且双范畴之间的 lax 函子诱导其 Span|− 对应物之间的 lax 函子。
• 通过 Span|Cat 构造，将 Span|Cat 中的霍普夫多面体识别为来自广群的单倍体上的反张量单子。
• 将 V 中辫状张量2-范畴的富集范畴识别为 Span|V 中的单子，将霍普夫范畴与霍普夫群独异点识别为 Span|V 中自然弗罗贝尼乌斯映射反单倍体上的反张量与霍普夫单子。
• 构造一个从 V 到 Cat 的张量伪函子，该函子诱导出从 Span|V 到 Span|Cat 的张量伪函子，将霍普夫群独异点与霍普夫范畴均映射为霍普夫多面体。
• 利用张量伪函子对单倍体、单子、反张量结构及 2-胞状态可逆性的保持性，证明霍普夫单子被保持，从而证明主要统一结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 霍普夫多面体、霍普夫范畴与霍普夫群独异点能否在统一的范畴框架下统一描述为霍普夫单子？
• RQ2 霍普夫群独异点与霍普夫范畴是否在辫状张量2-范畴 V 的 Span|V 中作为自然弗罗贝尼乌斯映射反单倍体上的霍普夫单子出现？
• RQ3 霍普夫群独异点与霍普夫范畴中的反极结构如何通过其作为霍普夫单子的实现来解释？
• RQ4 张量伪函子 Span|V → Span|Cat 在连接霍普夫群独异点、霍普夫范畴与霍普夫多面体中起什么作用？
• RQ5 文献[6]中所称的可表示霍普夫多面体是否正是霍普夫群独异点与霍普夫范畴在诱导张量伪函子下的像？

主要发现

• Span|Cat 中的霍普夫多面体等价于来自广群的单倍体上的反张量单子，且当其底层多面体为广群上的霍普夫多面体时，其为霍普夫单子。
• 在辫状张量2-范畴 V 上的霍普夫范畴是 Span|V 中自然弗罗贝尼乌斯映射反单倍体上的霍普夫单子，其反极结构由自同态范畴上的双单倍体结构解释。
• 在 V 中的霍普夫群独异点是 Span|V 中平凡自然弗罗贝尼乌斯映射反单倍体上的霍普夫单子，其反极由霍普夫单子结构产生。
• 张量伪函子 V → Cat 诱导出一个张量伪函子 Span|V → Span|Cat，该函子将霍普夫群独异点与霍普夫范畴均映射为霍普夫多面体，从而确认此类霍普夫多面体在[6]的意义下是可表示的。
• 构造 Span|V 是函子性的：任意 lax 函子 F: V → W 诱导出 lax 函子 Span|F: Span|V → Span|W，保持张量与反张量结构。
• 所有结构——霍普夫多面体、霍普夫范畴与霍普夫群独异点——均被统一为张量2-范畴中的霍普夫单子，其霍普夫性质与反极存在性通过自然弗罗贝尼乌斯映射反单倍体与双单倍体自同态范畴的框架得以解释。