[论文解读] Hopf quasigroups and the algebraic 7-sphere

J. Klim, Shahn Majid|ArXiv.org|Jun 27, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文引入了霍普夫拟群与霍普夫共拟群作为广义代数结构，以推广穆夫ang环和逆性质拟群，为七维球面的坐标代数 $k[S^7]$ 提供一个非交换、非结合、穆夫ang霍普夫共拟群的框架。文章给出了 $S^7$ 平坦化的简洁代数证明，并通过左不变与右不变向量场，利用八元数结构常数推导出李代数 $χ_2$ 的结构常数。

ABSTRACT

We introduce the notions of Hopf quasigroup and Hopf coquasigroup $H$ generalising the classical notion of an inverse property quasigroup $G$ expressed respectively as a quasigroup algebra $k G$ and an algebraic quasigroup $k[G]$. We prove basic results as for Hopf algebras, such as anti(co)multiplicativity of the antipode $S:H o H$, that $S^2=\id$ if $H$ is commutative or cocommutative, and a theory of crossed (co)products. We also introduce the notion of a Moufang Hopf (co)quasigroup and show that the coordinate algebras $k[S^{2^n-1}]$ of the parallelizable spheres are algebraic quasigroups (commutative Hopf coquasigroups in our formulation) and Moufang. We make use of the description of composition algebras such as the octonions via a cochain $F$ introduced in \cite{Ma99}. We construct an example $k[S^7] times\Z_2^3$ of a Hopf coquasigroup which is noncommutative and non-trivially Moufang. We use Hopf coquasigroup methods to study differential geometry on $k[S^7]$ including a short algebraic proof that $S^7$ is parallelizable. Looking at combinations of left and right invariant vector fields on $k[S^7]$ we provide a new description of the structure constants of the Lie algebra $g_2$ in terms of the structure constants $F$ of the octonions. In the concluding section we give a new description of the $q$-deformation quantum group $\C_q[S^3]$ regarded trivially as a Moufang Hopf coquasigroup (trivially since it is in fact a Hopf algebra) but now in terms of $F$ built up via the Cayley-Dickson process.

研究动机与目标

• 为非结合代数结构（如穆夫ang环）建立类似霍普夫代数的框架，特别是七维球面。
• 通过霍普夫拟群与霍普夫共拟群，将霍普夫代数理论推广至包含非结合、非交换及非共结合结构的范畴。
• 利用 $k[S^7]$ 上的霍普夫共拟群结构，通过微分学方法，提供 $S^7$ 平坦化的代数证明。
• 通过不变向量场，将 $χ_2$ 的结构常数用八元数结构常数 $F$ 表示。
• 利用凯莱-狄克逊过程中的 $F$-上链，重新表述 $q$-形变量子群如 $Δ_q[S^3]$。

提出的方法

• 将霍普夫拟群与霍普夫共拟群定义为霍普夫代数的推广，其中乘法非结合，余乘法非共结合。
• 利用凯莱-狄克逊构造中的 $F$-上链，定义扭曲群拟代数 $k_F\mathbb{Z}_2^n$，以建模包括八元数在内的复合代数。
• 利用八元数的 $F$-上链，将坐标代数 $k[S^7]$ 构造为一个交换、非结合、穆夫ang霍普夫共拟群。
• 通过余乘法与反元素，定义 $k[S^7]$ 上的左不变与右不变向量场 $D_{ij}$，并计算其李括号，以恢复李代数结构。
• 利用 $F$-上链与 $Σ$-对称性，定义 $Σ$-对合与 $Σ$-余乘法，使 $Δ_q[S^3]$ 可实现为一个 $*$-霍普夫代数。
• 通过显式张量表达式（涉及 $F$、$ψ$ 与 $Σ$）验证穆夫ang恒等式与非共结合性，并通过 Mathematica 数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否自然地将七维球面的坐标代数 $k[S^7]$ 描述为一个非结合、非交换且满足穆夫ang性质的霍普夫共拟群？
• RQ2 如何通过霍普夫共拟群结构上的微分学，代数化地证明 $S^7$ 的平坦化性质？
• RQ3 能否通过 $k[S^7]$ 上的不变向量场，从八元数结构常数 $F$ 推导出李代数 $χ_2$ 的结构常数？
• RQ4 如何利用凯莱-狄克逊过程中的 $F$-上链，重新表述 $q$-形变量子群如 $Δ_q[S^3]$？
• RQ5 使用复生成元与 $F$-上链，$Δ$-余乘法与 $*$-对合在 $Δ[S^7]$ 上的显式形式为何？

主要发现

• 坐标代数 $k[S^7]$ 是一个交换、非结合、满足穆夫ang性质的霍普夫共拟群，其余乘法由八元数的 $F$-上链定义，且非共结合。
• 本文通过证明 $k[S^7]$ 上左不变与右不变向量场在李括号下封闭，形成李代数，给出了 $S^7$ 平坦化的简洁代数证明。
• $χ_2$ 的结构常数以八元数结构常数 $F$ 与结合子 $ψ$ 表示，其显式李括号关系 $[D_{ij}, D_{kl}]$ 由 $F$-上链导出。
• 当 $n=2$ 时，向量场的李括号代数重现 $ςο(3)$，与已知 $S^3$ 的李代数结构一致。
• $Δ[S^7]$ 上的余乘法显式计算为：$\Delta z_0 = z_0 \otimes z_0 - \sum_i z_i \otimes z_i^*$ 与 $\Delta z_i = z_i \otimes z_0^* + z_0 \otimes z_i^* + \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk} z_j^* \otimes z_k^*$，其中使用了四元数的 $F$-上链。
• $q$-形变 $Δ_q[S^3]$ 被实现为一个 $*$-霍普夫代数，其生成元 $z_0, z_1$ 满足：$z_0 z_1 = q z_1 z_0$，$z_0^* z_1 = z_1 z_0^*$，且 $z_0 z_0^* + z_1 z_1^* = 1$，与基于 $F$ 的余乘法相容。