[论文解读] Horadam Octonions

Adnan Karataş, Serpil Halıcı|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文引入了霍拉达顿八元数（Horadam octonions），即霍拉达序列在八元数代数中的新颖扩展，推广了二阶递推关系。它推导出关键性质，包括类似比内公式（Binet-like formula）、普通生成函数（ordinary generating function）以及卡西尼恒等式（Cassini identity），为这些超复数序列的进一步研究奠定了基础性的代数与分析工具。

ABSTRACT

In this paper, first we define Horadam octonions by Horadam sequence which is a generalization of second order recurrence relations. Also, we give some fundamental properties involving the elements of that sequence. Then, we obtain their Binet-like formula, ordinary generating function and Cassini identity.

研究动机与目标

• 将二阶线性递推的霍拉达序列扩展至非结合的八元数代数。
• 定义并研究霍拉达顿八元数的代数与分析性质。
• 建立类似于经典斐波那契数列与卢卡斯数列的基底恒等式与闭式表达式。
• 为未来关于超复数递推序列的研究提供理论基础。

提出的方法

• 利用八元数代数上的广义二阶递推关系定义霍拉达顿八元数。
• 应用比内公式方法，推导霍拉达顿八元数的闭式表达式。
• 推导霍拉达顿八元数序列的普通生成函数。
• 通过递推关系的代数恒等变形，建立霍拉达顿八元数的卡西尼恒等式。
• 利用八元数代数的性质，包括非结合性，分析序列的结构行为。
• 运用矩阵表示与生成函数技术，将经典结果推广至八元数设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 霍拉达序列如何推广至非结合的八元数代数？
• RQ2 霍拉达顿八元数是否存在类似于比内公式的闭式表达式？
• RQ3 霍拉达顿八元数序列的普通生成函数是什么？
• RQ4 卡西尼恒等式在霍拉达顿八元数的语境下是否成立，其代数表达形式如何？
• RQ5 可为这一类新的超复数序列推导出哪些基本代数恒等式？

主要发现

• 为霍拉达顿八元数推导出类似比内公式，将每一项表示为特征方程根的幂的线性组合。
• 显式计算出霍拉达顿八元数序列的普通生成函数，将经典生成函数理论推广至八元数设定。
• 将卡西尼恒等式推广至霍拉达顿八元数，揭示连续项之间的特定代数关系。
• 尽管存在非结合性，序列在八元数乘法规则下仍保持结构一致性。
• 该框架使得基于递推定义的超复数序列得以系统研究。
• 结果将经典斐波那契数列与卢卡斯数列的恒等式推广至非结合的八元数域。